(1) 设 $A$ 为实对称矩阵, $\lambda=\min_{|v|=1, v\in\mathbb{R}^n}\langle Av,v\rangle$. 求证: $\lambda$ 是 $A$ 的最小特征值. (2) 设 $C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T\mid x_i\geqslant 0, i=1,2,\ldots,n\}$. 求证: 对任意一个 $n$ 元列向量 $u$, 存在 $v,w\in C$, 满足 $\langle v,w\rangle=0$, $u=v-w$. (3) 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是实对称矩阵, 满足对任意 $1\leqslant i,j\leqslant n$, $i\neq j$, 有 $a_{ij} < 0$, 且对任意的非零向量 $v\in C$, $-Av\not\in C$. 求证: $A$ 是正定矩阵.
(1) 设 $A$ 为实对称矩阵, $\lambda=\min_{|v|=1, v\in\mathbb{R}^n}\langle Av,v\rangle$. 求证: $\lambda$ 是 $A$ 的最小特征值.
(2) 设 $C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T\mid x_i\geqslant 0, i=1,2,\ldots,n\}$. 求证: 对任意一个 $n$ 元列向量 $u$, 存在 $v,w\in C$, 满足 $\langle v,w\rangle=0$, $u=v-w$.
(3) 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是实对称矩阵, 满足对任意 $1\leqslant i,j\leqslant n$, $i\neq j$, 有 $a_{ij} < 0$, 且对任意的非零向量 $v\in C$, $-Av\not\in C$. 求证: $A$ 是正定矩阵.