定理. (Eisenstein判别准则) 设 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n\in\mathbb{Z}[x]$. 如果存在素数 $p$, 使得 $p|a_i$, $i=0,1,2,\ldots,n-1$, 且 $p\not| a_n$, $p^2\not| a_0$, 则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}$ 上不可约.

见 [1] P.33

[DevPlan] 利用 Eisenstein 判别准则判断整系数多项式的不可约性.

在 Sowya v0.630 中加入了 Eisenstein() 函数, 判别给定的多项式是否满足 Eisenstein 判别准则的三个条件.

例 1.  根据定理, 对于任意的 $n\in\mathbb{Z}^+$, 多项式 $x^n+2$ 都是不可约的.

例 2.  存在有理数域上的不可约多项式如 $x^2+4$,  不满足 Eisenstein 判别条件. 

References:

[1] 李炯生、查建国  编著 《线性代数》

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编 《高等代数》