问题及解答

设 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ 这七个非负实数满足

\[
\sum_{i=1}^{7}a_i=1.
\]

令 $t_i=\sum_{k=i}^{i+2}a_k$, $i=1,2,3,4,5$. 求

\[
A=\min_{\sum a_i=1}\{\max_{1\leqslant i\leqslant 5}t_i\}
\]

[分析]

比如, 令这七个数分别为 $\frac{1}{6}-\delta$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{5}{36}$,$\frac{5}{36}$,$\frac{5}{36}+\delta$, 这里 $\delta > 0$.

从而可知 $A < \frac{1}{2}$. 或者都取 $\frac{1}{7}$, 则推出 $A\leqslant\frac{3}{7}$

若令这七个数分别为

\[
\frac{1}{3}-\frac{\delta}{2},\quad\frac{\delta}{4}-\varepsilon,\quad\frac{\delta}{4}+\frac{\varepsilon}{2},\quad x,\quad\frac{\delta}{4}+\frac{\varepsilon}{2},\quad\frac{\delta}{4}-\varepsilon,\quad\frac{1}{3}-\frac{\delta}{2},
\]

则得 $x=\frac{1}{3}+\varepsilon$.

[Hint] 利用鸽巢原理, 可证明 $A=\frac{1}{3}$.

Remark: 若条件中没有非负这个条件, 则 $A$ 可以小于 $\frac{1}{3}$.

例如:

\[
\begin{cases}
a_1=a_7=\frac{1}{3}+\frac{\varepsilon}{2}+\eta,\\
a_2=a_6=\frac{\delta}{4}-\frac{\varepsilon}{2}-\eta,\\
a_3=a_5=-(\frac{\delta}{4}+\frac{\varepsilon}{2}),\\
a_4=\frac{1}{3}+\varepsilon.
\end{cases}
\]

这里 $\varepsilon,\delta,\eta$ 都大于零.

将 $\{a_i\}_{i=1}^{7}$ 分为三组, $\{a_1,a_2,a_3\}$, $\{a_4\}$, $\{a_5,a_6,a_7\}$. 记它们的和分别为 $s_1,s_2,s_3$. 于是

\[
s_1+s_2+s_3=1.
\]

假设 $A < \frac{1}{3}$, 则存在这些 $a_i$, 使得 $\max_{1\leqslant i\leqslant 5} t_i < \frac{1}{3}$, 从而 $s_1,s_3$ 都小于 $\frac{1}{3}$, 而 $s_2=a_4\leqslant a_3+a_4+a_5 < \frac{1}{3}$. (注意这里用到了 $a_i$ 的非负性.) 这与 $s_1+s_2+s_3=1$ 矛盾.

故 $A\geqslant\frac{1}{3}$. 而的确可以取到这些数, 使得 $A=\frac{1}{3}$. (见上面的分析).