问题及解答

1. 对任意映射 $f:S^n\rightarrow S^n$, 有 $|\deg(f)|\leqslant(\text{dil}(f))^n$.
2. 对每个 $n$, 存在常数 $c_n\in(0,1)$, 及映射度可任意大的映射序列 $f:S^n\rightarrow S^n$ 满足不等式 $|\deg(f)|>c_n(\text{dil}(f))^n$, 即\[ 0 < c_n\leqslant\limsup_{\deg(f)\rightarrow\infty}\frac{|\deg(f)|}{(\text{dil}(f))^n}\leqslant 1. \]

(1) 首先对 $f\in C^1$ 的情形作证明. 设 $\omega$ 是 $S^n$ 上的规范体积形式, 即 $\int_{S^n}\omega=1$. 于是 $\deg(f)=\int_{S^n}f^*\omega$, 且此时由于 $f\in C^1$, $\text{dil}_x(f)=\|Df_x\|$. 故有

\[|\deg(f)|\leqslant\int_{S^n}\|f^*\omega\|\leqslant\biggl(\sup_{x\in S^n}\|Df_x\|\biggr)^n\int_{S^n}\omega\leqslant(\text{dil}(f))^n.\]

对于一般情形, 若 $\text{dil}(f)<+\infty$, 则对每个 $\varepsilon>0$, 存在一个 $C^1$ 映射 $f_\varepsilon:S^n\rightarrow S^n$ (这样的 $C^1$ 映射可以通过多种方法得到, 比如卷积.) 使得对每个 $x\in S^n$, 有 $d(f(x),f_\varepsilon(x))<\varepsilon$ 且 $\text{dil}(f_\varepsilon)\leqslant\text{dil}(f)+\varepsilon$.

若 $\varepsilon\leqslant\pi$, 则 $f$ 同伦于 $f_\varepsilon$. [Why?] 从而

\[\deg(f)=\deg(f_\varepsilon)\leqslant(\text{dil}(f_\varepsilon))^n\leqslant(\text{dil}(f)+\varepsilon)^n\]

由于此不等式对任意的 $\varepsilon>0$ 都成立, 故(1) 得证.