问题及解答

[Lem] 设 $U$, $V$ 是 $X$ 中的开集, 且 $X=U\cup V$, 并且 $X$ 和 $U\cap V$ 都道路连通, 则 $U$ 和 $V$ 也是道路连通的.

Pf. 不妨只证 $U$ 是道路连通的.

$\forall\ x_0\in U\setminus V$, 只要证 $x_0$ 与 $U\cap V$ 属于 $X$ 的同一个道路连通分支中.

注意: $U\cap V$ 是 $U$ 的道路连通子集. 

也即只要找到 $x_0$ 到 $U\cap V$ 中的一条道路即可.

因为 $X$ 道路连通, 取点 $x_1\in V$, 则有 $X$ 中的一条道路 $a:I\rightarrow X$, 连接 $x_0$ 和 $x_1$. 比如 $a(0)=x_0$, $a(1)=x_1$.

由引理1(问题2342), $a^{-1}(U\cap V)\neq\emptyset$. 设 $a^{-1}(U\cap V)$ 的下确界为 $t_0$. 则 $[0,t_0]\subset a^{-1}(U)$.

因为 $a^{-1}(U)$ 是 $I$ 中的开集, 故 $\exists\ \varepsilon > 0$, s.t. $[0,t_0+\varepsilon)\subset a^{-1}(U)$.

由 $t_0$ 的定义知, $\exists\ t_1\in[t_0,t_0+\varepsilon)$, s.t. $a(t_1)\in U\cap V$.

于是 $x_0$ 与 $a(t_1)$ 在同一道路分支中. 因此 $U$ 是道路连通的.

Q.E.D.