问题及解答

复变函数 $\mathrm{Ln}z$ 或 $\mathrm{Log}z$ 的定义.

和实函数 $y=\ln x$ 的定义类似, 若复数 $\omega$ 满足 $e^{\omega}=z$, 则定义 $\mathrm{Ln}z=\omega$. 

由于

\[
e^{\omega+i2k\pi}=e^{\omega}.
\]

因此, $f(z)=\mathrm{Ln}z$ 是一个多值函数.  设 $z=re^{i\theta}$,  $\omega=u+iv$, $u,v$ 是实数. 则

\[
z=e^{\omega}=e^{u+iv}=e^u\cdot e^{iv}=e^u(\cos v+i\sin v)
\]

于是 $r=e^u$, 从而 $u=\ln r=\ln|z|$. $v=\theta+2k\pi$, $k$ 是任意整数. 

\[
f(z)=\mathrm{Ln}z=u+iv=\ln r+i(\theta+2k\pi)
\]

如果仅考虑 $k=0$, $\theta=\arctan\frac{y}{x}$, 这里 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, 则称这样的 $\mathrm{Ln}z$ 函数是其中的一个(主)分支.

验证: $\mathrm{Ln}z$ 在任一分支上满足柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann equation), 从而 $\mathrm{Ln}z$ 在分支上是全纯函数.

由于满足柯西-黎曼方程是复变函数 $f(z)$ 可导(即全纯)的充要条件, 故

\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.
\]

或简记为 $f'(z)=u_x+iv_x$.

Claim.

\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{Ln}z=\frac{1}{z}
\]

参考自 [1] 第二卷 第九章 复变函数.

References:

[1]  A. D. 亚历山大洛夫  等 著 《数学，它的内容、方法和意义》,  科学出版社

Pf. $z=x+iy=re^{i\theta}$, 由定义

\[
\mathrm{Ln}z=\ln r+i\arctan\frac{y}{x}=u+iv,
\]

于是

\[
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial\ln r}{\partial x}=\frac{1}{r}\cdot r'_x=\frac{1}{r}\cdot\frac{x}{r}=\frac{x}{r^2}
\]

\[
\begin{split}
\frac{\partial v}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y}(\arctan\frac{y}{x})\\
&=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot\frac{1}{x}\\
&=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x}{r^2}
\end{split}
\]

因此 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$.

\[
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial\ln r}{\partial y}=\frac{1}{r}\cdot r'_y=\frac{1}{r}\cdot\frac{y}{r}=\frac{y}{r^2}
\]

\[
\begin{split}
\frac{\partial v}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x}(\arctan\frac{y}{x})\\
&=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot\frac{-y}{x^2}\\
&=\frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{-y}{r^2}
\end{split}
\]

因此 $\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$. 

故 $f(z)=\mathrm{Ln}z$ 满足柯西-黎曼方程. 从而 $f'(z)$ 存在, 即 $\mathrm{Ln}(z)$ 在分支上是全纯函数.

并且

\[
\begin{split}
f'(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{Ln}z&=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\
&=\frac{x}{r^2}+i\frac{-y}{r^2}=\frac{x-iy}{r^2}\\
&=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\\
&=\frac{1}{z}
\end{split}
\]

注意, $(\mathrm{Ln}z)'=\dfrac{1}{z}$ 是一个单值函数.