问题及解答

证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$ 时, $\sin x+\tan x\geqslant 2x$.

令 $\varphi(x)=\sin x+\tan x-2x$, 则等价于证明 $\varphi(x)\geqslant 0$, $\forall\ x\in[0,\frac{\pi}{2})$.

注意到 $\varphi(0)=0$. 下面计算 $\varphi'(x)$, 若能证明 $\varphi'(x) > 0$,  $\forall\ x\in[0,\frac{\pi}{2})$, 则可推出 $\varphi(x)\geqslant 0$.

\[
\begin{split}
\varphi'(x)&=\cos x+\sec^2 x-2\\
&=\cos x-1+\sec^2 x-1\\
&=\tan^2 x-(1-\cos x)\\
&=\biggl(\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1-\tan^2(\frac{x}{2})}\biggr)^2-2\sin^2(\frac{x}{2})\\
&=2\sin^2(\frac{x}{2})\cdot\biggl[\frac{2\cdot\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})}}{(1-\tan^2(\frac{x}{2}))^2}-1\biggr]\\
&=2\sin^2(\frac{x}{2})\cdot\frac{2-\cos^2(\frac{x}{2})(1-\tan^2(\frac{x}{2}))^2}{\cos^2(\frac{x}{2})(1-\tan^2(\frac{x}{2}))^2}
\end{split}
\]

由于 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$, 故 $0\leqslant\frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$, 因此 $0\leqslant\tan\frac{x}{2} < 1$. 于是

\[
2-\cos^2(\frac{x}{2})(1-\tan^2(\frac{x}{2}))^2 > 0
\]

即 $\varphi'(x)\geqslant 0$, 且等号成立仅当 $x=0$ 时.

(法二)

问题等价于证明: 对于 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$, 有

\[\tan x-x\geqslant x-\sin x\]

由 $\tan x$ 和 $\sin x$ 的 Taylor 公式, 即可知这是成立的.

\[
\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^4)
\]

\[
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^6)
\]

第一种方法算到 $\varphi'(x)=\cos x+\sec^2 x-2$, 我们将其写为

\[
\varphi'(x)=\frac{\cos^3 x-2\cos^2 x+1}{\cos^2 x}.
\]

考虑分子 $\cos^3 x-2\cos^2 x+1$, 若记 $t=\cos x$, 则分子为 $h(t)=t^3-2t^2+1$.  (这里 $t=\cos x\in(0,1]$, 因为 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$.) 

注意到 $h(t)$ 有根 $t=1$, 所以可以分解为

\[
h(t)=t^3-2t^2+1=(t-1)(t^2-t-1)
\]

其中 $t^2-t-1=(t-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4} < 0$, 所以 $h(t)\geqslant 0$, 且等号成立仅当 $t=1$ 时.

因此 $\varphi'(x) > 0$, $\forall x\in(0,\frac{\pi}{2})$.