Answer
问题及解答
1
Pf. $|G|=72=2^3\cdot 3^2$
>> Factorise(72)
out> 72 == 2^3*3^2
由 Sylow 第三定理, $G$ 的 Sylow $3$-子群的个数为 $n_3=3k+1$, $(k\geqslant 0)$. 又 Sylow $3$-子群的个数是 $2^3$ 的因子, 因此 $(3k+1)|8$. 这推出 $k=0$ 或 $k=1$.
>> solve(8%(3*k+1)==0,k,0,2)
ans>> k=0
ans>> k=1
若 $k=0$, 则 $G$ 的 Sylow $3$-子群的个数为 $n_3=1$. 因此这个 $3^2$ 阶子群是正规的.
若 $k=1$, 则 $G$ 的 Sylow $3$-子群的个数为 $n_3=4$. 不妨记这四个 $3^2$ 阶子群为 $P_1,P_2,P_3,P_4$. 考虑群 $G$ 在集合 $X=\{P_1,P_2,P_3,P_4\}$ 上的共轭作用:
\[
\begin{array}{rcl}
G\times X & \rightarrow & X\\
(g, P_i) & \mapsto & g.P_i
\end{array}
\]
这里 $g.P_i=gP_i g^{-1}$. 由于有限群的任两个 Sylow $p$-子群均相互共轭（见 Sylow 第二定理的推论）, $G$ 的每个元素 $g$ 定义了 $X$ 上的一个置换:
\[
\begin{array}{rcl}
\tau_g:\ X & \rightarrow & X\\
P_i &\mapsto & gP_i g^{-1}
\end{array}
\]
即 $\tau_g\in S_4$. 易见 $\varphi: G\rightarrow S_4$, via $g\mapsto\tau_g$ 是一个群同态. 且 $\varphi(G)\neq\{e\}$, 这是因为 $\{P_i\}$ 之间彼此共轭. （若 $\varphi(G)=\{e\}$, 则对任意 $g\in G$, $gP_i g^{-1}=P_i$, $i=1,2,3,4$. 显然与 $P_i$ 之间彼此共轭矛盾.）
又 $|S_4|=2|A_4|=2\times 12=24$, 故 $|G| > |S_4|$. 所以, $\ker(\varphi)$ 不是平凡群. （$G/\ker(\varphi)\cong S_4$, 故 $\ker(\varphi)$ 的阶至少是 $3$.）
综合以上两种情形, $G$ 必有非平凡的正规子群. 因此 $G$ 不是单群.
以上证明参考了[1]
References:
[1] 聂灵沼, 丁石孙 著 《代数学引论》