问题及解答

并且证明一个局部欧氏仿紧的Hausdorff 空间不一定有可数基.

References:

张筑生, 微分拓扑讲义.

John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds.

我们首先回顾一下仿紧的定义.(可见 paracompact sets)

定义(仿紧): 拓扑空间 $X$ 如果每个开覆盖都有一个局部有限的加细开覆盖(简称开加细), 则称 $X$ 是仿紧空间.

所谓局部有限是针对拓扑空间的子集族而言, 比如 $\mathcal{E}$ 是 $X$ 的某个子集族, 如果对于任意 $x\in X$, 存在 $U\in\mathcal{N}(x)$ ($\mathcal{N}(x)$ 指 $x$ 的邻域系), 使得 $U$ 只和 $\mathcal{E}$ 中有限个成员相交. 则称 $\mathcal{E}$ 是局部有限的.

加细是就两个子集族而言, 如果 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是拓扑空间 $X$ 的两个子集族, 若 $\forall\ B\in\mathcal{B}$, $\exists\ A\in\mathcal{A}$, 使得 $B\subset A$, 则称 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{A}$ 的加细.

我们现在的问题的对象是第二可数的(拓扑)流形, 因此要明白第二可数的流形有什么特征. 流形的原始定义不必要求一定是第二可数(即流形作为拓扑空间具有可数基), 但为了避开一些“病态”情形, 加上第二可数这个条件会带来很多便利. 一般的, 如果没有明确指出, 我们都约定(拓扑)流形都满足第二可数公理.

定理: 流形 $M$ 是第二可数的当且仅当它具有由可数个局部坐标域构成的覆盖.

(参见问题743)

举出第一可数但非第二可数的拓扑流形.

第一可数的流形也是仿紧的吗? 有没有非仿紧的第一可数流形?

References:

陆文钊、陈肇姜 编著, 《点集拓扑学》 南京大学出版社. 1995.

张筑生, 微分拓扑讲义.