引理. $X$ 上的等价关系 $\sim$ 是开的当且仅当自然投射 $\pi:X\rightarrow X/\sim$ 是开映射. 若 $\sim$ 是 $X$ 上的开等价关系, 且 $X$ 具有可数拓扑基时, $X/\sim$ 也有可数基.
开等价关系的定义参见问题762.
这个引理在判定一个流形在某个等价关系下的商空间是否仍是一个流形时非常有用. 因为流形的必要条件是 Hausdorff 空间, 且往往要求第二可数.
而判定商空间是否是 Hausdorff 空间, 往往只能根据 Hausdorff 分离性去直接证明, 或者加额外的条件(见问题). 因为一般来讲, 商空间可能不再是 Hausdorff 空间.
关于商空间不再是 Hausdorff 空间的例子, 见问题764.
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(充分性 "$\Leftarrow$")
设 $A$ 是 $X$ 中的开集. 由于 $[A]=\cup_{a\in A}[a]=\{x\in X\mid\exists\ a\in A,\ \text{s.t.}\ x\sim a\}$, 故 $[A]=\pi^{-1}(\pi(A))$. 由于 $\pi$ 是开映射, 故 $\pi(A)$ 是商空间 $X/\sim$ 中的开集, 根据商拓扑的定义, $\pi^{-1}(\pi(A))$ 是 $X$ 的开集. 即 $[A]$ 是开集. 故 $\sim$ 是开的等价关系.
(必要性 "$\Rightarrow$")
任取开集 $A$, $\sim$ 是开等价关系, 故 $[A]$ 是 $X$ 的开集, 这推出 $\pi(A)$ 是 $X/\sim$ 中的开集. 因此 $\pi$ 是开映射.
现在假设 $\sim$ 是 $X$ 上的开等价关系, 且 $X$ 具有可数开拓扑基 $\{U_{i}\}_{i\in I}$.
设 $W$ 是 $X/\sim$ 的一个开集, 则 $W$ 的原像 $\pi^{-1}(W)$ 由于是 $X$ 的开集, 从而被上述拓扑基中的一些成员所表示:
\[\pi^{-1}(W)=\bigcup_{j\in J}U_j.\]
从而
\[W=\pi(\pi^{-1}(W))=\bigcup_{j\in J}\pi(U_j).\]
这推出, $\{\pi(U_i)\}_{i\in I}$ 是 $X/\sim$ 的一个拓扑基, 当然也是可数的.
事实上, 拓扑空间的第一、第二可数性可被连续的开映射所保持.(参见问题748)
References:
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. P.60--61.