问题及解答

设 $G=SO(2,1)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上二次型 $x^2+y^2-z^2$ 的等距同构群. 令 $J$ 是此二次型对应的矩阵形式. 证明: $A\in SO(2,1)$ 当且仅当 $A^t JA=J$.

从而推出 $SO(2,1)$ 的李代数由所有满足 $X^t J+JX=0$ 的矩阵组成.

证明下面的映射给出了 $\mathfrak{so}(2,1)$ 到 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 的一个同构.

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ \mathfrak{so}(2,1)&\rightarrow(\mathbb{R}^3,\times)\\
(x,y,z)&\mapsto &
\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & x\\
y & x & 0
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

伴随作用是 $SO(2,1)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的标准作用. 确定伴随作用的轨道.

对应于二次型 $x^2+y^2-z^2$ 的矩阵为

\[J=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\]

设 $\vec{v}=(x,y,z)^t$,

\[\|\vec{v}\|^2:=x^2+y^2-z^2=(x,y,z)\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\vec{v}^t J\vec{v}.
\]

设 $A:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$, $A\in\mathrm{SO}(2,1)$, 即 $\|A\vec{v}\|=\|\vec{v}\|$, 则

\[(A\vec{v})^tJA\vec{v}=\vec{v}^t J\vec{v}\Rightarrow \vec{v}^t A^t JA\vec{v}=\vec{v}^t J\vec{v},\]

由于对任意 $\vec{v}\in\mathbb{R}^3$ 成立, 则 $A^t JA=J$.

$\mathrm{SO}(2,1)$ 的李代数记为 $\mathfrak{so}(2,1)$. 设 $X\in\mathfrak{so}(2,1)$, 则 $e^X=\exp(X)\in\mathrm{SO}(2,1)$. 从而

\[(e^X)^t J e^X=J.\]

这推出

\[e^{X^t} J e^X=J.\]

注意到 $J^2=I$, 所以 $J^{-1}=J$, 且

\[Je^X J=e^{JXJ}.\]

于是

\[
\begin{split}
&e^{X^t} J e^X=J\\
\Rightarrow &e^{X^t} J e^X J=J^2=I\\
\Rightarrow &e^{X^t} e^{JXJ}=I
\end{split}
\]