问题及解答

证明: $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2$ 是道路连通的.

其他关于 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 的结果:

$\pi_1(\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}))=\mathbb{Z}_2$, $\forall\ n\geqslant 3$.

\[
\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\mid ad-bc=1
\right\}
\]

若 $a=0$, 则 $bc=-1$, 于是 $c=-\frac{1}{b}$.

\[
U=\left\{
\begin{pmatrix}
0 & b\\
-1/b & d
\end{pmatrix}\mid b\in\mathbb{R}^*,\ d\in\mathbb{R}
\right\}
\]

若 $a\neq 0$, 则 $d=\frac{1+bc}{a}$, 于是

\[
V=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & \frac{1+bc}{a}
\end{pmatrix}\mid a\in\mathbb{R}^*,\ b,c\in\mathbb{R}
\right\}
\]

显然 $U$ 是闭集, $V$ 是开集.

$U$ 在 $\mathbb{R}^4$ 的子空间 $\{0\}\times\mathbb{R}^3$ 中是一个双曲柱面. 它自身的两部分不是连通的.

$V$ 在 $\mathbb{R}^4$ 的子空间 $\{a\}\times\mathbb{R}^3$ ($a\neq 0$ 固定) 中是一个定义在整个 $x_2 x_3$ 平面上的曲面 $x_4=\frac{1+x_2 x_3}{a}$.

注意到 $(0,b,-\frac{1}{b},0)\in U$, 且它是 $V$ 中点列 $(a_i,b,-\frac{1}{b},0)$ 的极限点. 因此, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 是连通的. 并且 $U$, $V$ 之间相连的道路都经过

\[U\cap\bar{V}=\{(0,b,-\frac{1}{b},0)\mid b\in\mathbb{R}^*\}.\]

因此 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 不能简单地从直觉上认为同胚于 $\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,\lambda)\mid\lambda\in\mathbb{R}\}$. 这是不正确的.

现在考虑 $\mathbb{Z}_2$ 在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 上的作用. 群 $\mathbb{Z}_2$ 中的非零元对应到矩阵的转置, 矩阵做两次转置等于自身.

\[U/\mathbb{Z}_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid \}\]

因此 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2$ 后

To be continued.