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问题及解答

[Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis

Posted by haifeng on 2012-12-07 13:22:13 last update 2023-08-23 09:13:29 | Edit | Answers (0)

译自下述文献. 翻译可能不准确.

References:

Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis.


第一节. 介绍

函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 称为是 $L$-Lipschitz 的, 这里 $L>0$, 如果对任意 $a,b\in A$, $f$ 满足

\[
|f(a)-f(b)|\leqslant L|a-b|
\]

上式中的 Lipschitz 条件是一个纯度量条件, 它对从一个度量空间到另一个度量空间的映射有意义.

在以下的讲义中, 我们将着重于欧氏空间的 Lipschitz 函数.

在第二节中, 我们研究 extension problems 和 Lipschitz retracts.

在第三节中, 我们将证明 Rademacher 和 Stepanov 的经典的可微性定理.

在第四节, 我们简要讨论 Sobolev 空间和 Lipschitz behavior. 这里给出 Rademacher 定理的另一个证明, 它基于 Sobolev 嵌入(Sobolev embedding).

第五节是最重要的. 那里我们将仔细研究发展 Whitney 的平坦微分形式的基本理论. 特别的, 我们将给出平坦 chains(flat chains) 和平坦形式(flat forms)之间基本对偶性质的一个证明. 还讨论了关于平坦形式的 Lipschitz 不变性(Lipschitz invariance).

最后一节, 第六节, 我们将讨论几何分析中的最新进展, 那里, 平坦形式被用于寻找 Lipschitz variants of the measurable Riemann mapping theorem.

 

除了欧氏框架内的研究人员, 本讲义的内容对于研究一般度量几何的学生也是具有吸引力的. 定义在 $\mathbb{R}^n$ 中子集上的 Lipschitz 函数的许多基本结论, 通过类似地证明, 也适用于很一般的情形(are valid in great generality). Moreover, fluency in the classical theory is imperative in analysis and geometry at large.

Lipschitz 函数出现在数学中几乎每个角落. 典型的, 最初碰到 Lipschitz 条件是在常微分方程的基本理论中, 那里被用于解的存在性定理. 在实分析的基本课程中, Lipschitz 函数出现在有界变分(bounded variation)函数的例子中. 并且证明了定义在开区间上的实值 Lipschitz 函数是几乎处处可微的. 在更深奥的论题中, Lipschitz 分析被广泛用于几何测度理论、偏微分方程以及非线性泛函分析中. Lipschitz 条件是度量几何的中心概念之一, 不论是有限维还是无穷维. Lipschitz 分析还在拓扑中有令人感到吃惊(striking applications)的应用. 比如, 每个拓扑流形(除开四维外)都有惟一的 Lipschitz 结构, 这样的流形可能不具有光滑或分段线性的结构, 或者它有很多这样的(光滑或分段线性)结构. 在实用应用方面, Lipschitz 函数出现在图像处理以及 Internet 搜索引擎的研究中. 最后, 甚至当我们考虑 rougher objects, such as functions in various Sobolev spaces or quasiconformal mappings, vestiges of Lipschitz behavior are commonly found in them, and the theory is applicable.

在许多方面, Lipschitz 条件比 infinite smoothness 条件更为自然, and more ubiquitous. 例如, Lipschitz 函数族总是 (pre-)compact 的, 因此可以适用 Arzela-Ascoli 类型的论述. 光滑条件背景中的紧致性一般更为复杂.

许多重要的论题没有被全部覆盖.

1.1 记号.

我们采用标准的记号. 除非特别指明(unless otherwise stipulated), 欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ ($n\geqslant 1$) 中两点间的距离定义为

\[
|x-y|:=\biggl(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\biggr)^{1/2}.
\]

可测集 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue $n$-测度记为 $|E|$, 关于 Lebesgue 测度的积分记为

\[
\int_E f(x)\mathrm{d}x.
\]

$\mathbb{R}^n$ 中的开集闭集分别记为 $B(x,r)$ 和 $\overline{B}(x,r)$, 这里 $x\in\mathbb{R}^n$, $r>0$. 如果我们需要强调所在空间的维数, 则写为 $B^n(x,r)$. 有时我们也记 $\mathbb{B}^n:=B^n(0,1)$, $\mathbb{S}^n:=\partial\mathbb{B}^n$. 集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ 的闭包记为 $\overline{E}$, 其补集记为 $E^c:=\mathbb{R}^n\setminus E$.

1.2 致谢

我要感谢第14届 Jyväskylä 暑期学校的组织者, 特别是 Tero Kilpeläinen 教授和 Raimo Näkki 教授邀请我作这些演讲. 非常感谢 Eero Saksman 关于 Whitney 理论的许多富有启发性的谈话. 我也要感谢 Ole Jacob Broch, Bruce Kleiner 和 Peter Lindqvist 提供的一些有用的信息, 还要感谢 Bruce Hanson, Leonid Kovalev, Seppo Rickman 和 Jussi Väisälä 仔细阅读了我的手稿并所作的评论.

2. 扩展(Extension)

每个 Lipschitz 函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 都可以扩展为 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 一个 Lipschitz 函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$. 即 $F$ 是 Lipschitz 的, 且 $F|_{A}=f$. 这一节中, 我们对这一基本结果提供三种证明, 并讨论 Lipschitz retracts 的相关问题. 本节的发展,揭示了 Lipschitz 函数所带来的极大的灵活性; 它们可以粘贴、截断而不损害 Lipschitz 性质.

我们从一些预备知识开始.

2.1 距离函数和拟凸性(Distance functions and quasiconvexity)

距离函数是 Lipschitz 函数中简单而又重要的例子. 距离函数可以取到某个固定点 $x_0\in\mathbb{R}^n$ 的距离函数

\[x\mapsto\text{dist}(x,x_0):=|x-x_0|,\tag{2.1}\]

也可以更一般的, 取到某个固定集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ 的距离函数

\[x\mapsto\text{dist}(x,E):=\inf\{|x-a|\ :\ a\in E\}.\tag{2.2}\]

$\text{dist}(\cdot,x_0)$是1-Lipschitz 的, 这是三角不等式的直接推论.

证明

由于 \[ \text{dist}(x_0,y)\leqslant\text{dist}(x,x_0)+\text{dist}(x,y) \] 以及\[\text{dist}(x,x_0)\leqslant\text{dist}(x,y)+\text{dist}(y,x_0)\] 因此 \[ |\text{dist}(x,x_0)-\text{dist}(y,x_0)|\leqslant\text{dist}(x,y) \]

$\text{dist}(\cdot,E)$ 也是1-Lipschitz 的. 我们可以直接证明, 见问题967

记录下面这个更一般的结果是值得的.

引理 2.1. 设 $\{f_i:i\in I\}$ 是一族 $L$-Lipschitz 函数 $f_i:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$. 则函数

\[x\mapsto\inf_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]

\[x\mapsto\sup_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]

若在某一点有限, 则都是 $A$ 上的 $L$-Lipschitz 函数.(参见问题968)

注意到(2.2)$\text{dist}(x,E)$ 中的 $E$ 假设是闭的. 另一方面, 我们有 $\text{dist}(x,E)=\text{dist}(x,\overline{E})$. 因此, 我们只需考虑闭集. 更一般地, 每个 $L$-Lipschitz 函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 可以通过一致连续扩展到闭包 $\overline{A}$ 上的一个 $L$-Lipschitz 函数.

Lipschitz 条件(1.1) 是整体的; 它需要对 $A$ 中任意两个点 $a,b$ 有控制. 有时我们仅需要局部信息. 有一个简单但很有用的引理, 证明了在特殊情况下, 局部信息可以转化为整体信息.

集合 $A\subset\mathbb{R}^n$ 称为 $C$-拟凸的(quasiconvex), 如果 $A$ 中任两点 $a,b$ 可被 $A$ 中一条曲线 $\gamma$ 连接, 使得
\[
\text{length}(\gamma)\leqslant C|a-b|,
\]
其中 $C\geqslant 1$ 是固定的常数. 此时我们也称 $A$ 是拟凸的(quasiconvex).

这里曲线 $\gamma$ 的长度指通常意义下定义的量
\[
\text{length}(\gamma):=\sup\sum_{i=0}^{N-1}|\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)|,
\]
其中, 上确界是对曲线 $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n$ 的所有划分 $0=t_0
函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 称为局部 $L$-Lipschitz 的, 如果 $A$ 中的每个点都有一个邻域, $f$ 在上面是 $L$-Lipschitz 的.

引理 2.2. 若 $A\subset\mathbb{R}^n$ 是 $C$-拟凸的, 且 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是局部 $L$-Lipschitz 的, 则 $f$ 是 $CL$-Lipschitz 的.

(证明参见问题970)

现在考虑(以极坐标表示的)带缝平面(slip plane):
\[
A:=\{(r,\theta)\ :\ 0 \]
函数
\[
(r,\theta)\mapsto(r,\theta/2),\quad A\rightarrow\mathbb{R}^2,
\]
是局部 1-Lipschitz 的, 但不是整体 Lipschitz 的(相对于 $\mathbb{R}^2$ 中的度量来说). 这个例子中的 $A$ 如果按照 $\mathbb{R}^2$ 上的度量, 则不满足引理 2.2 中的拟凸条件.

(证明参见问题971)

(2.1) 中的距离函数可以使用集合上的内蕴度量(intrinsic metric)来定义. 设 $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个集合, $A$ 中任两点可被 $A$ 中的一条有限长的曲线连接. $A$ 上的内蕴度量(intrinsic metric)定义为
\[
\delta_A(a,b):=\inf\text{length}(\gamma),\tag{2.4}
\]
这里下确界指取遍 $A$ 中连接 $a$ 和 $b$ 的所有曲线. (2.4) 事实上定义了 $A$ 上的一个度量, $A$ 是拟凸的当且仅当两个度量空间($(A,\rho_0)$, $(A,\delta_A)$)之间的恒同映射是 bi-Lipschitz 的. 回忆, 度量空间之间的映射称为是 bi-Lipschitz 的, 如果这个映射是 Lipschitz 的, 并且有一个 Lipschitz 逆(即逆映射也是 Lipschitz 的). 当然此时这个映射是一个同胚映射.

函数
\[
x\mapsto\text{dist}_A(x,x_0):=\delta_A(x,x_0)
\]
关于内蕴度量是 1-Lipschitz 的; 如果 $A$ 是拟凸的, 则它是 Lipschitz 的.(??)
本节后面我们将回到拟凸性与 Lipschitz retracts 之间联系的讨论上来.

最后, 我们称集合 $A$ 中连接点 $a$ 和 $b$ 的曲线 $\gamma$ 为内蕴测地线(intrinsic geodesic), 如果 $\text{length}(\gamma)=\delta_A(a,b)$.

 

$\S$ 2.2 扩展定理.


译自下述文献. 翻译可能不准确.

References:

Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis.