问题

证明 $n,n+2,n+4$ 中必有一个是 3 的倍数.

$n,n+6,n+12,n+18,n+24$ 中必有一个是 5 的倍数.

给定 $k$ 个数 $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$, 如果对所有 $n$, 素数 $p$ 至少整除 $n+a_1$, $n+a_2$, $\ldots$, $n+a_k$ 中的一个, 则称 $p$ 是一个障碍(obstruction).

换句话说, 素数 $p$ 整除

\[
\mathcal{P}(n)=(n+a_1)(n+a_2)\cdots(n+a_k),\quad\forall\ n.
\]

此等价于 $a_1,a_2,\ldots,a_k(\text{mod}\ p)$ 包含模 $p$ 的所有剩余类.

【Def】如果这 $k$ 个数 $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$, 没有一个素数是其障碍, 则称 $x+a_1,\ldots,x+a_k$ 是一个 admissible set of forms.

[注意] 由于 $a_1,a_2,\ldots,a_k(\text{mod}\ p)$ 顶多含有 $k$ 个模 $p$ 剩余类, 因此如果素数 $p>k$, 则它不可能成为这 $k$ 个数的障碍. 因此要检验含有 $k$ 个数的集合 $A$ 是否是 admissible 的, 我们只要对于 $p\leq k$, 找到一个剩余类  $b_p(\text{mod}\ p)$, 不包含 $A$ 中任一元素即可.

References:

Andrew Granville, Primes in intervals of bounded length.