问题

数论 >> 一般数论 >> 初等数论
Questions in category: 初等数论 (Elementary Number Theory).

素数定理(prime number theorem)

Posted by haifeng on 2011-06-17 00:02:33 last update 2019-07-10 17:51:46 | Answers (0) | 收藏


PNT(Prime Number Theorem)

\[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\log x}}=1. \]

Remark: 这个定理是由勒让得(Legendre)与高斯(Gauss)作为猜测提出的. 直到1896年, 才由法国数学家哈达马(Hadamard)及得拉魏力泊桑(de la Vallée Poussin)同时互相独立地证明. 但是他们的证明中用到复变函数论的深邃理论, 远比契比雪夫(也译为切贝谢夫, 俄文是Чебышёв, [Remark 1] )不等式的证明曲折深奥. 这就推动人们去寻求素数定理的初等的或较简单的证明. 直到1949年, Selberg 及 Erdös 才分别给出了素数定理的初等证明.

素数定理有很多的初等证明, 但是其价值可能没有现代证明来得优美和深刻.

http://www.cnblogs.com/misaka01034/p/WeakPrimeThm.html

 

Euler (1740) 观察到

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-\sigma}=\prod_{p}(1+p^{-\sigma}+p^{-2\sigma}+\cdots)=\prod_{p}(1-p^{-\sigma})^{-1}
\]

第二个等号是显然的. 第一个等号可以这样理解, 对于每个正整数 $n$, 根据算术基本定理(the Fundamental Theorem of Arithmetic)可表示为 $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$, 于是

\[
n^{-\sigma}=(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k})^{-\sigma}=p_1^{-a_1\sigma}p_2^{-a_2\sigma}\cdots p_k^{-a_k\sigma}.
\]

这是由 $(1+p_1^{-\sigma}+p_1^{-2\sigma}+\cdots)$, $(1+p_2^{-\sigma}+p_2^{-2\sigma}+\cdots)$, $\ldots$, $(1+p_k^{-\sigma}+p_k^{-2\sigma}+\cdots)$ 中的项相乘得到的. 反之, $\prod_{p}(1+p^{-\sigma}+p^{-2\sigma}+\cdots)$ 展开后, 成为一系列项的和, 除 1 之外, 每个项形如 $p_1^{-a_1\sigma}p_2^{-a_2\sigma}\cdots p_k^{-a_k\sigma}$. 因此第一个等号成立.

利用这个等式, Euler 给出了素数个数是无穷的新证明. 假设素数个数是有限的, 则

\[
\zeta(\sigma)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sigma}}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-\sigma}}
\]

在 $\sigma\rightarrow 1^+$ 时仍是有界的, 但此时 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sigma}}$ 趋于无穷大.

粗略地说, $\zeta(\sigma)$ 的行为代表了素数的行为.

 

1790's, Gauss 和 Legendre 独立猜测下面的 PNT

\[
\pi(x)=\sum_{p\leqslant x}1\sim\frac{x}{\log x},\quad(x\rightarrow\infty)
\]

 

若记

\[
\Lambda(n)=\begin{cases}
\log p, & n=p^k,\\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]

则 PNT 等价地可以叙述为

\[
\psi(x):=\sum_{n\leqslant x}\Lambda(n)\sim x
\]

这里我们可以这样思考

\[
\psi(x)=\sum_{n\leqslant x}\Lambda(n)=\sum_{n=p^k\leqslant x}\log p=(\log x)\sum_{n=p^k\leqslant x}\frac{\log p}{\log x}=(\log x)\sum_{p\leqslant x}\frac{k\log p}{\log x}\sim(\log x)\sum_{p\leqslant x}1.
\]

 

Reference:

闵嗣鹤、严士健编《初等数论》(第二版),高等教育出版社.

 

 

Remark:

[1] 据张影老师介绍,Чебышёв 应该译为切比绍夫比较合适.