关于组合数的恒等式
(1) $\sum_{k=1}^{n}kC_n^k=n 2^{n-1}$.
类似地, 可证明
(2) $\sum_{k=2}^{n}C_n^k C_k^2=C_n^2 2^{n-2}$.
(3) $\sum_{k=3}^{n}C_n^k C_k^3=C_n^3 2^{n-3}$.
由此可推出下面的恒等式
\[
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}k^3=2^{n-3}n^2(n+3).
\]
参见 (1 封私信) 这个组合数求和问题怎么解决？ - 知乎 (zhihu.com)