[Dong Yan]Hodge Structure on Symplectic Manifolds
译自: Dong Yan, Hodge Structure on Symplectic Manifolds, Advances in Mathematics 120, 143--154(1996)
介绍
J. Brylinski 在 [B] 中引入了辛调和形式(symplectic harmonic forms)这一概念. 进一步的, 他猜想在紧致辛流形上, 每个 de Rham 上同调类包含一个调和形式的代表元. Brylinski 的猜想等价于在 symplectic 意义下 Hodge 分解存在性这个问题. (辛意义下 Hodge 分解的唯一性显然是不成立的.)
Olivier Mathieu 在 [M] 中否定了 Brylinski 的猜想. 事实上, 他证明了下面的定理,
Theorem 0.1 设 $(M^{2m},\omega)$ 是一个 $2m$-维辛流形. 则下面两个断言是等价的:
1. 任一上同调类包含一个调和上闭链(cocycle).
2. 对任意的 $k\leqslant m$, cup product $[\omega]^k:\ H^{m-k}(M)\rightarrow H^{m+k}(M)$ 是满射.
Mathieu 定理是针对紧致 Kähler 流形的 Hard Lefschetz 定理的推广. 他的证明涉及到 quivers 和 Lie 超代数的表示理论. 本文中我们将给出此定理的一个更简单直接的证明. 我们的证明遵循 Hard Lefschetz 定理的标准证明(见[G]).
我们将研究无穷维 $sl(2)$-表示的一个特殊类型, 我们称它为有限 $H$-谱的 $sl(2)$-模(an $sl(2)$-module of finite $H$-spectrum). 然后我们将我们所研究得到的结果应用到 $M$ 上的微分形式空间以及由辛调和形式(symplectic harmonic forms)所构成的子空间上.
作为应用, 我们将给出由 B. Khesin 和 D. McDuff 所提出的一个问题的解(见第 4 节). 根据 B. Khesin, 这个问题大概与群理论流体动力学(group-theoretical hydrodynamics)以及微分同胚群的几何(geometry of diffeomorphism groups)有关.
第一节, 我们研究关于辛流形上微分形式空间的各种算子以及之间的关系. 第二节, 我们回忆 $sl(2)$-表示的经典结果; 特别地, 我们引入有限 $H$-谱的 $sl(2)$-模(an $sl(2)$-module of finite $H$-spectrum) 的概念. 在第三节中, 我们给出主要定理的证明. 第四节是定理的应用.
不难发现, 利用本文中所展示的方法, 可以将上述结论推广到系数取自 $M$ 上任意平坦向量丛的 de Rham 上同调. 关于进一步的推广, 参见 [Y].