回忆基本群的定义是指所有 $S^1$ 到拓扑空间 $X$ 映射的同伦类的集合. 当把 $S^1$ 换成 $S^n$, 可以验证在同伦加法下构成一个群, 称为第 $n$ 个(维)同伦群.

证明: $n$ 维同伦群除 $n=1$ 之外都是交换群.

同伦群也可以这样来定义.

设 $I^n=[0,1]^n\subset\mathbb{E}^n$, 即 $n$ 维欧氏空间中的 $n$ 维方体. $n\geq 1$. $I^n$ 的边界是

\[
\partial I_n=\{(t_1,\ldots,t_n)\in I^n\mid\Pi_{i=1}^{n}t_i(1-t_i)=0\}
\]

取定 $X$ 中一点 $x_0$, 并记

\[
M_n(X,x_0)=\{f\in X^{I^n}\mid f:\ (I^n,\partial I^n)\rightarrow (X,x_0)\}
\]

命 $\pi_n(X,x_0)$ 表示 $M_n(X,x_0)$ 中就映射的同伦关系 $f\simeq g:\ (I^n,\partial I^n)\rightarrow (X,x_0)$ 所分成的同伦类的集合. 在 $\pi_n(X,x_0)$ 中引入运算 "$+$":

References:

廖山涛, 刘旺金 著 《同伦论基础》, 北京大学出版社.