1. 哥德巴赫猜想(Goldbach\'s Conjecture): 每个大于 $2$ 的偶数都是两个素数的和.

2. 孪生素数猜想(Twin Prime Conjecture): 存在无穷多对孪生素数.(如果 $p$ 和 $p+2$ 都是素数, 我们称它们是孪生素数.)

3. 是否存在无穷多个形如 $n^2+1$ 的素数?

4. 是否存在无穷多个形如 $2^n-1$ 的素数? 这种素数称为 Mersenne 素数.

5. 是否存在无穷多个形如 $2^{2^n}+1$ 的素数? 这种素数称为 Fermat 素数.

6. ( $3n+1$ 猜想/The Collatz Problem/The Syracuse Problem ) 定义 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ 为,
\[
f(n)=\left\{
\begin{array}{ll}
3n+1, & n\ \text{是奇数},\\
n/2, & n\ \text{是偶数}.
\end{array}
\right.
\]
则序列 $f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\ldots$ 中一定包含 $1$, 不管 $n$ 从何开始. (参见问题 201, 204)

7. 是否存在无穷多个这样的素数, 它们在十进制下的形式为 $11\cdots 1$, 即每一位都是数字 $1$? 形如 $11\cdots 1$ 的数称为 repunits.

8. 是否存在无穷多个完全数(perfect number)? [如果一个数等于它的所有真因子的和, 则称之为 perfect number.]

9. 是否存在一个快速的算法用以分解大整数? [如果确实有这样的算法, 则对密码学和数据安全带来重要的影响.]
 

References:

W. Edwin Clark, Elementary Number Theory.

http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math413Fall98/Conjectures.html