设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 且 $AB$ 对称, 问 $BA$ 是否对称?
设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 且 $AB$ 对称, 问 $BA$ 是否对称?
如果无法推出 $BA$ 对称, 请举几个反例. 并且是否可加一些条件, 使得 $BA$ 对称?
[Ans]
答案显然是否定的.
最简单的例子: 令
\[A=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}.\]
于是
\[
AB=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\times 3+2\times 4=11,
\]
\[
BA=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 4 & 8\end{pmatrix},
\]
其中 $BA$ 不是对称矩阵.