一维 Cantor 集与 Cantor 函数
[Def](Devil\'s staircase/ Cantor function)
若函数 $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ 满足下述泛函条件
- $\frac{1}{2}\varphi(3x)+\frac{1}{2}\varphi(3x-2)\equiv\varphi(x)$, $\forall\ x\in\mathbb{R}$;
- $\varphi|_{(-\infty,0]}\equiv 0$;
- $\varphi|_{[1,+\infty)}\equiv 1$.
则称 $\varphi|_{[0,1]}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 为 Devil\'s staircase 或 Cantor 函数.