0.1 Brunn-Minkowski 不等式

回忆: 欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中两个集合 $X, Y$ 的 Minkowski sum $X+Y$ 是指下面的集合

\[
\{x+y\in\mathbb{R}^n\mid x\in X,\ y\in Y\}
\]

等价的定义是

\[
X+Y=\cup_{y\in Y}(X+y)
\]

其中 $X+y$ 表示 $X$ 的 $y$-平移, 即是 $X$ 与点 $y$ 的 Minkowski sum.

注意到 $X+Y=Y+X$, 因为在 $\mathbb{R}^n$ 中向量的和是可交换的: $x+y=y+x$.

0.1 A. 例子. 设 $X_\varepsilon$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中以原点为中心半径为 $\varepsilon$ 的开球. 于是根据第二个定义, $X_\varepsilon+y$ 是中心在 $Y$ 中的半径为 $\varepsilon$ 的球的并, 通常称为 $Y$ 的 $\varepsilon$-邻域.

0.1 B. Brunn-Minkowski 定理. $X+Y$ 的 (关于 Lebegue 测度的) $n$-维体积有下界

\[
\Bigl(\text{Vol}(X+Y)\Bigr)^{\frac{1}{n}}\geqslant (\text{Vol}X)^{\frac{1}{n}}+(\text{Vol}Y)^{\frac{1}{n}}.
\]

References:

M. Gromov, Convex sets and Kähler Manifolds