问题及解答

0.1 Brunn-Minkowski 不等式

回忆: 欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中两个集合 $X,Y$ 的 Minkowski sum $X+Y$ 是指下面的集合

$$\{x+y\in {\mathbb{R}}^n\mid x\in X,y\in Y\}$$

等价的定义是

$$X+Y={\cup }_{y\in Y}(X+y)$$

其中 $X+y$ 表示 $X$ 的 $y$-平移, 即是 $X$ 与点 $y$ 的 Minkowski sum.

注意到 $X+Y=Y+X$, 因为在 ${\mathbb{R}}^n$ 中向量的和是可交换的: $x+y=y+x$.

0.1 A. 例子. 设 $X_{\epsilon }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中以原点为中心半径为 $\epsilon$ 的开球. 于是根据第二个定义, $X_{\epsilon }+y$ 是中心在 $Y$ 中的半径为 $\epsilon$ 的球的并, 通常称为 $Y$ 的 $\epsilon$-邻域.

0.1 B. Brunn-Minkowski 定理. $X+Y$ 的 (关于 Lebegue 测度的) $n$-维体积有下界

$$(\text{Vol}(X+Y){)}^{\frac{1}{n}}⩾(\text{Vol}X{)}^{\frac{1}{n}}+(\text{Vol}Y{)}^{\frac{1}{n}}.$$

References:

M. Gromov, Convex sets and Kähler Manifolds