球面 $S^3$ 非局部等距同构于欧氏空间 $\mathbb{R}^3$. 但是球面 $S^3$ 含有一个局部等距同构于欧氏平面 $\mathbb{R}^2$ 的二维曲面. 球面
\[
S^3=\{(z,w)\in\mathbb{C}^2\mid |z|^2+|w|^2=1\}
\]
中这种曲面的一个例子是 $T^2$, 定义为
\[
T^2=\{(z,w)\in\mathbb{C}^2\mid |z|=|w|=1\},
\]
即由这样的点 $(e^{i\varphi},e^{i\psi})$ 组成.

我们证明曲面 $T^2$(也称为"环面")上的局部坐标 $(\varphi,\psi)$ 是欧氏的, 即, $T^2$ 上连接点 $(e^{i\varphi},e^{i\psi})$ 和 $(e^{i(\varphi+\Delta\varphi)},e^{i(\psi+\Delta\psi)})$ 的最短曲线的长度为 $\sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2}$. (注: $T^2\subset S^3\subset{C^2}\cong\mathbb{R}^4$ 上曲线的长度定义为在 $\mathbb{R}^4$ 中的长度.) 只要验证若 $z=e^{i\varphi}$, $w=e^{i\psi}$, 则 $|\mathrm{d}z|^2+|\mathrm{d}w|^2=(\mathrm{d}\varphi)^2+(\mathrm{d}\psi)^2$ 

易见, $\mathrm{d}z=ie^{i\varphi}\mathrm{d}\varphi$, $\mathrm{d}w=ie^{i\psi}\mathrm{d}\psi$, 因此, $|\mathrm{d}z|^2+|\mathrm{d}w|^2=(\mathrm{d}\varphi)^2+(\mathrm{d}\psi)^2$.

$S^2$ 有子流形 $S^1$ 局部等距同构于 $\mathbb{R}^1$;

$S^3$ 中 $T^2\cong S^1\times S^1\subset S^3$ 局部等距同构于 $\mathbb{R}^2$;

$S^4$ 中有无子流形局部等距同构于  $\mathbb{R}^3$ ?

参考 [1] P. 113.

References:

[1] V. V. Prasolov, V. M. Tikhomirov, Geometry.   Translations of Mathematical Monographs, Volume 200.