问题

球面 $S^3$ 非局部等距同构于欧氏空间 ${\mathbb{R}}^3$. 但是球面 $S^3$ 含有一个局部等距同构于欧氏平面 ${\mathbb{R}}^2$ 的二维曲面. 球面
$$S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2\mid |z{|}^2+|w{|}^2=1\}$$
中这种曲面的一个例子是 $T^2$, 定义为
$$T^2=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2\mid |z|=|w|=1\},$$
即由这样的点 $(e^{i\phi },e^{i\psi })$ 组成.

我们证明曲面 $T^2$(也称为"环面")上的局部坐标 $(\phi ,\psi )$ 是欧氏的, 即, $T^2$ 上连接点 $(e^{i\phi },e^{i\psi })$ 和 $(e^{i(\phi +\mathrm{\Delta }\phi )},e^{i(\psi +\mathrm{\Delta }\psi )})$ 的最短曲线的长度为 $\sqrt{(\mathrm{\Delta }\phi {)}^2+(\mathrm{\Delta }\psi {)}^2}$. (注: $T^2\subset S^3\subset C^2\cong {\mathbb{R}}^4$ 上曲线的长度定义为在 ${\mathbb{R}}^4$ 中的长度.) 只要验证若 $z=e^{i\phi }$, $w=e^{i\psi }$, 则 $|\mathrm{d}z{|}^2+|\mathrm{d}w{|}^2=(\mathrm{d}\phi {)}^2+(\mathrm{d}\psi {)}^2$ 

易见, $\mathrm{d}z=i{e}^{i\phi }\mathrm{d}\phi$, $\mathrm{d}w=i{e}^{i\psi }\mathrm{d}\psi$, 因此, $|\mathrm{d}z{|}^2+|\mathrm{d}w{|}^2=(\mathrm{d}\phi {)}^2+(\mathrm{d}\psi {)}^2$.

$S^2$ 有子流形 $S^1$ 局部等距同构于 ${\mathbb{R}}^1$;

$S^3$ 中 $T^2\cong S^1\times S^1\subset S^3$ 局部等距同构于 ${\mathbb{R}}^2$;

$S^4$ 中有无子流形局部等距同构于  ${\mathbb{R}}^3$ ?

参考 [1] P. 113.

References:

[1] V. V. Prasolov, V. M. Tikhomirov, Geometry.   Translations of Mathematical Monographs, Volume 200.