证明:

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}=1.\]

Q. 下面的做法正确吗?

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\biggl[(1+\frac{-\ln n}{n})^{\frac{n}{-\ln n}}\biggr]^{-\ln n}}{\frac{1}{n}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{-\ln n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1
\end{split}
\]

或者

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}&=\lim_{n\rightarrow\infty} n(1-\frac{\ln n}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln n}\cdot\biggl[(1+\frac{-\ln n}{n})^{\frac{n}{-\ln n}}\biggr]^{-\ln n}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln n}\cdot e^{-\ln n}=1.
\end{split}
\]