设数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}$, $x_1=1$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限.
设 $x_1=1$, $x_2=1+\frac{x_1}{1+x_1}$, $\ldots$, $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, $n=2,3,\ldots$.
我们写出这个数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的前几项:
\[
\frac{1}{1},\ \frac{3}{2},\ \frac{8}{5},\ \frac{21}{13},\ \frac{55}{34},\ \frac{144}{89},\ \ldots
\]
证明:
(1) 如果 $x_n$ 表示为既约分数 $\frac{a_n}{b_n}$, 则有
\[
b_n^2=a_n\cdot a_{n-1}+1,\qquad b_n\cdot b_{n+1}=a_n^2+1.
\]
(2) 极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限值.