Brocard 问题
Henri Brocard 在 1876和1885年两篇文章中提出了如下问题. 求整数 $n$ 和 $m$ 满足下面的方程:
\[
n!+1=m^2.
\]
(Srinivasa Ramanujan 1913年独立的提出此问题)
满足此方程的配对 $(n,m)$ 称为 Brown 数.
Paul Erdős 猜测除 $n=4,5,7$ 之外没有其他的解了. Overholt (1993) 证明若假设 ABC 猜想(abc conjecture)成立, 则此方程仅有有限个解. Berndt and Galway n.d.对于 $n < 10^9$ 进行了计算, 没有发现有其他的解.
Brocard 猜想是指: 除了 2 和 3 之外, 相邻素数的平方之间至少存在四个素数. 即
$[p_n^2,p_{n+1}^2]$ 中至少存在 4 个素数, 对任意 $n > 1$.
这个猜想与 Schinzel 猜想有关. 即: 给定 $x > 8$, 在 $(x,x+(\log x)^2)$ 中必定存在一个素数.
也可见 Opperman 猜想.
与之相关的一个问题是下面的一个定理.(见问题1797)
定理. 当素数 $p > 5$ 时, $(p-1)!+1$ 不可能是 $p$ 的幂.
References: