Sobolev(Соболев) 嵌入定理
设 $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$ ($1\leq p\leq +\infty$) 为由所有前 $k$ 次弱导数属于 $L^p(\mathbf{R}^n)$ 的函数所构成的 Sobolev 空间, 即\r
\[
W^{k,p}(\mathbf{R}^n)=\{u\in L^p(\mathbf{R}^n)|\tilde{\partial}^{\alpha}u\in L^p(\mathbf{R}^n),|\alpha|\leq k\}.
\]
(i) 若 $k>\ell$, $1\leq p < q \leq +\infty$, 使满足 $(k-\ell)p < n $ 且\r
\[
\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k-\ell}{n},
\]
则\r
\[
W^{k,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq W^{\ell,p}(\mathbf{R}^n),
\]
并且嵌入是连续的.
特别的, 当 $k=1$ 且 $\ell=0$ 时, Sobolev 嵌入定理得\r \[ W^{1,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq L^{p^*}(\mathbf{R}^n), \] 其中 $p^*$ 定义为 $\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$, 称为 $p$ 的 Sobolev 对偶. 此时, 该嵌入可由 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式直接推出.
特别的, 当 $k=1$ 且 $\ell=0$ 时, Sobolev 嵌入定理得\r \[ W^{1,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq L^{p^*}(\mathbf{R}^n), \] 其中 $p^*$ 定义为 $\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$, 称为 $p$ 的 Sobolev 对偶. 此时, 该嵌入可由 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式直接推出.