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Sobolev(Соболев) 嵌入定理

Posted by haifeng on 2011-06-02 19:18:58 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏


设 $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$ ($1\leq p\leq +\infty$) 为由所有前 $k$ 次弱导数属于 $L^p(\mathbf{R}^n)$ 的函数所构成的 Sobolev 空间, 即\r \[ W^{k,p}(\mathbf{R}^n)=\{u\in L^p(\mathbf{R}^n)|\tilde{\partial}^{\alpha}u\in L^p(\mathbf{R}^n),|\alpha|\leq k\}. \] (i) 若 $k>\ell$, $1\leq p < q \leq +\infty$, 使满足 $(k-\ell)p < n $ 且\r \[ \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k-\ell}{n}, \] 则\r \[ W^{k,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq W^{\ell,p}(\mathbf{R}^n), \] 并且嵌入是连续的.
特别的, 当 $k=1$ 且 $\ell=0$ 时, Sobolev 嵌入定理得\r \[ W^{1,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq L^{p^*}(\mathbf{R}^n), \] 其中 $p^*$ 定义为 $\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$, 称为 $p$ 的 Sobolev 对偶. 此时, 该嵌入可由 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式直接推出.