\[
\begin{cases}
\Delta u=f(x) & \text{in}\ D,\\
\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}=h(x) & \text{on}\ \partial D.
\end{cases}
\]

由散度定理或 Green 第一恒等式(参见问题642), 

\[
\int_D\Delta u\mathrm{d}V=\int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\mathrm{d}S.
\]

将 $\Delta u=f(x)$ 和 $\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}=h(x)$ 代入上式, 得

\[
\int_D f(x)\mathrm{d}V=\int_{\partial D}h(x)\mathrm{d}S.
\]

因此, Neumann 方程中, $f(x)$ 和 $h(x)$ 之间是有关系的, 不可以随便选取, 否则将导致方程无解.

 

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References:

https://www.math.ust.hk/~maklchan/ma4052/w12.pdf

The Fokker-Planck Equation

Scott Hottovy

6 May 2011

http://www.math.wisc.edu/~shottovy/NumPDEreport.pdf

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1 介绍

根据牛顿第二定律, 布朗粒子(Brownian particle)可从微分方程导出, 称为 Langevin equation, 由下式给出

\[
m\frac{d^2 x}{dt^2}=F(x,t),
\]

这里的力 $F(x,t)$ 是确定性力和随机力之和. 于是粒子在时间 $t$ 的位置 $x(t)$ 是一个随机过程(stochastic process). 我们的目标是理解这个模型中的转换概率(transition probabilites).

 

1.1 Fokker-Planck 方程的推导

设 $p(x(t))$ 是随机过程 $x(t)$ 的概率密度(probability density). 我们假设 $x(t)$ 是一个 Markov 过程. 也就是说,

\[
p\Bigl(x(t_3)=x_3\biggr| x(t_1)=x_1, x(t_2)=x_2\Bigr)=p\Bigl(x(t_3)=x_3\biggr| x(t_2)=x_2\Bigr)
\]

 

 

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以上文字翻译自

References:

http://www.math.wisc.edu/~shottovy/NumPDEreport.pdf

 

证明:

\[
\int_0^r(\frac{1}{\rho^{n-1}}\int_{B_{\rho}}\Delta u dx)d\rho\geqslant\frac{1}{\omega_n r^{n-2}}\int_{B_r}\Delta u
\]

这里 $\Delta u$ 是 $B_r$ 上的非负函数 (即 $\Delta u\geqslant 0$ in $B_r$).

形如

\[F(D^k u(x),D^{k-1}u(x),\ldots,Du(x),u(x),x)=0,\quad(x\in U)\]

的式子称为一个 $k$-阶偏微分方程(partial differential equation), 这里

\[F:\mathbb{R}^{n^k}\times\mathbb{R}^{n^{k-1}}\times\cdots\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\times U\rightarrow\mathbb{R}\]

是给定的函数, 而 $u:\ U\rightarrow\mathbb{R}$ 是未知的, 要求的函数.

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从 $F$ 的形式给出下面的一些分类.

(i) 线性偏微分方程

\[\sum_{|\alpha|\leqslant k}a_\alpha (x)D^\alpha u=f(x)\]

当 $f\equiv 0$ 时, 称它是齐性的.

(ii) 半线性 PDE

Evans 写PDE书的原则

1. PDE 理论(大多)并不限于两个独立变量.
2. 许多有趣的问题是非线性的.
3. 理解广义解是最根本的.
4. PDE 理论不是泛函分析的一个分支.
5. Notation is a nightmare.
6. 好的理论(几乎)有如精确的公式一样有用.

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译自

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics Volume 19.

\[
\begin{array}{rcll}
-\Delta u &=& f(u) &\text{in}\ \Omega\\
u&=&0 &\text{on}\ \partial\Omega
\end{array}
\]

其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的有界区域.

假设 $u$ 是 $B_1\subset\mathbb{R}^n$ 中的调和函数. 即

\[\Delta u=0\quad\text{in}\ B_1\]

对于 $r\in (0,1)$, 定义

\[D(r)=\int_{B_r}|\nabla u|^2,\]

\[H(r)=\int_{\partial B_r}u^2,\]

令

\[N(r)=\frac{rD(r)}{H(r)}\]

这里的 $N(r)$ 就称为 $u$ 在 $B_r$ 内点的频率(frequency). 证明 $D(r)$ 可以写成一个曲面积分. 即有

\[D(r)=\frac{1}{2}\int_{B_r}\Delta u^2=\int_{\partial B_r}u u_n,\]

其中 $u_n$ 是 $u$ 关于法向的方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$.

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References:

Qing Han(韩青), Nodal sets of solutions of elliptic differential equations.

在经典情形, 即 $\mathbb{R}^n$ 中的分析, 热函数是指热方程

\[ \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u \]

的解. 在抽象情形, 即在圆柱体 $I\times\Omega$ 上定义热函数有多种定义方式. 这里 $I$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个区间, $\Omega$ 是 $X$ 的一个开集. 但不管是如何定义的, 只要满足下面的性质, 我们都认为是可以的.

1. $I\times\Omega$ 上所有热函数的全体是 $\mathbb{R}$ 上的一个线性空间;
2. 若 $I'\subset I$, $\Omega'\subset\Omega$, 则 $I\times\Omega$ 上的任意一个热函数也是 $I'\times\Omega'$ 上的热函数.
3. 对任意 $g\in L^2(\Omega,\mu)$, 函数 $(t,x)\mapsto P_t^{\Omega}g(x)$ 是 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上的一个热函数.
4. 若 $\Omega$ 是相对紧的(relatively compact), 则 $\Omega$ 上的常值函数是 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上某个关于时间独立的热函数在 $\Omega$ 上的限制.
5. (super-mean value inequality)对 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上的任意非负热函数 $u(t,x)$, 总有下述不等式成立: \[ u(t,\cdot)\geqslant P_{t-s}^{\Omega}u(s,\cdot),\quad\text{对所有}\ 0 < s < t. \] (我们要说明的是, 当写成这种形式的不等式时, 即假设它们是针对 $L^2(X,\mu)$ 中的函数的, 而不是指点点这样的.)

 

$(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})u=0$ 的基本解是

\[
u(x,t)=\dfrac{\exp(-\frac{r^2}{4t})}{(4\pi t)^{n/2}}
\] 

见 [1] P. 101.

 

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Reference:

[1] 丘成桐, 孙理察  著  《微分几何讲义》

设 $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$ ($1\leq p\leq +\infty$) 为由所有前 $k$ 次弱导数属于 $L^p(\mathbf{R}^n)$ 的函数所构成的 Sobolev 空间, 即\r \[ W^{k,p}(\mathbf{R}^n)=\{u\in L^p(\mathbf{R}^n)|\tilde{\partial}^{\alpha}u\in L^p(\mathbf{R}^n),|\alpha|\leq k\}. \] (i) 若 $k>\ell$, $1\leq p < q \leq +\infty$, 使满足 $(k-\ell)p < n $ 且\r \[ \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k-\ell}{n}, \] 则\r \[ W^{k,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq W^{\ell,p}(\mathbf{R}^n), \] 并且嵌入是连续的.
特别的, 当 $k=1$ 且 $\ell=0$ 时, Sobolev 嵌入定理得\r \[ W^{1,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq L^{p^*}(\mathbf{R}^n), \] 其中 $p^*$ 定义为 $\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$, 称为 $p$ 的 Sobolev 对偶. 此时, 该嵌入可由 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式直接推出.

设 $u$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续可微实值函数, 则对于 $1\leq p < n $, 存在常数 $C$(仅依赖于 $n,p$), 使得 \[ \|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf{R}^n)}, \] 其中 $p^*=\frac{np}{n-p}>p$ 是 $p$ 的 Sobolev 对偶.