是否存在可微函数 $u(x,y)$, 使得 $u'_x=xy$, $u'_y=-x^2y$ ?

设可微函数 $f(x,y)$ 满足方程 $(1+y)f(x,y)+xy\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0$, 求 $f(x,y)$.

设 $u:\,\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $C^2$ 函数. 满足

\[
\begin{cases}
u(x,0)&=f(x),\quad x\in\mathbb{R}^n,\\
\Delta u(x,y)&=0,\quad x\in\mathbb{R}^n,\ y > 0.
\end{cases}
\]

则 $(-\Delta)^{\frac{1}{2}}u(x,0)=-u_y(x,0)$.  这里 $-\Delta=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_i^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$. 若记 $\Delta_x=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_i^2}$, 则 $-\Delta=\Delta_x+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$.

定义: 若算子 $T$ 满足 $T^2=-\Delta$, 则称 $T$ 是 $-\Delta$ 的平方根算子, 记作 $T=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$.

证明: 令 $T(f)=-u_y(x,0)$, 这里 $f(x)=u(x,0)$, 我们证明 $T^2=-\Delta$.

事实上, 

\[
T(T(f))(x)=T(-u_y(x,0))(x)=u_{yy}(x,0),
\]

又 $u$ 满足 $\Delta u(x,y)=0$, 即 $\Delta_x u(x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y)=0$, 从而 $u_{yy}(x,y)=-\Delta_x u(x,y)$.

\[
\begin{cases}
\Delta u=f(x) & \text{in}\ D,\\
\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}=h(x) & \text{on}\ \partial D.
\end{cases}
\]

由散度定理或 Green 第一恒等式(参见问题642), 

\[
\int_D\Delta u\mathrm{d}V=\int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\mathrm{d}S.
\]

将 $\Delta u=f(x)$ 和 $\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}=h(x)$ 代入上式, 得

\[
\int_D f(x)\mathrm{d}V=\int_{\partial D}h(x)\mathrm{d}S.
\]

因此, Neumann 方程中, $f(x)$ 和 $h(x)$ 之间是有关系的, 不可以随便选取, 否则将导致方程无解.

References:

https://www.math.ust.hk/~maklchan/ma4052/w12.pdf

The Fokker-Planck Equation

Scott Hottovy

6 May 2011

http://www.math.wisc.edu/~shottovy/NumPDEreport.pdf

1 介绍

根据牛顿第二定律, 布朗粒子(Brownian particle)可从微分方程导出, 称为 Langevin equation, 由下式给出

\[
m\frac{d^2 x}{dt^2}=F(x,t),
\]

这里的力 $F(x,t)$ 是确定性力和随机力之和. 于是粒子在时间 $t$ 的位置 $x(t)$ 是一个随机过程(stochastic process). 我们的目标是理解这个模型中的转换概率(transition probabilites).

1.1 Fokker-Planck 方程的推导

设 $p(x(t))$ 是随机过程 $x(t)$ 的概率密度(probability density). 我们假设 $x(t)$ 是一个 Markov 过程. 也就是说,

\[
p\Bigl(x(t_3)=x_3\biggr| x(t_1)=x_1, x(t_2)=x_2\Bigr)=p\Bigl(x(t_3)=x_3\biggr| x(t_2)=x_2\Bigr)
\]

以上文字翻译自

References:

http://www.math.wisc.edu/~shottovy/NumPDEreport.pdf

证明:

\[
\int_0^r(\frac{1}{\rho^{n-1}}\int_{B_{\rho}}\Delta u dx)d\rho\geqslant\frac{1}{\omega_n r^{n-2}}\int_{B_r}\Delta u
\]

这里 $\Delta u$ 是 $B_r$ 上的非负函数 (即 $\Delta u\geqslant 0$ in $B_r$).

形如

\[F(D^k u(x),D^{k-1}u(x),\ldots,Du(x),u(x),x)=0,\quad(x\in U)\]

的式子称为一个 $k$-阶偏微分方程(partial differential equation), 这里

\[F:\mathbb{R}^{n^k}\times\mathbb{R}^{n^{k-1}}\times\cdots\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\times U\rightarrow\mathbb{R}\]

是给定的函数, 而 $u:\ U\rightarrow\mathbb{R}$ 是未知的, 要求的函数.

从 $F$ 的形式给出下面的一些分类.

(i) 线性偏微分方程

\[\sum_{|\alpha|\leqslant k}a_\alpha (x)D^\alpha u=f(x)\]

当 $f\equiv 0$ 时, 称它是齐性的.

(ii) 半线性 PDE

Evans 写PDE书的原则

1. PDE 理论(大多)并不限于两个独立变量.
2. 许多有趣的问题是非线性的.
3. 理解广义解是最根本的.
4. PDE 理论不是泛函分析的一个分支.
5. Notation is a nightmare.
6. 好的理论(几乎)有如精确的公式一样有用.

译自

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics Volume 19.

\[
\begin{array}{rcll}
-\Delta u &=& f(u) &\text{in}\ \Omega\\
u&=&0 &\text{on}\ \partial\Omega
\end{array}
\]

其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的有界区域.

假设 $u$ 是 $B_1\subset\mathbb{R}^n$ 中的调和函数. 即

\[\Delta u=0\quad\text{in}\ B_1\]

对于 $r\in (0,1)$, 定义

\[D(r)=\int_{B_r}|\nabla u|^2,\]

\[H(r)=\int_{\partial B_r}u^2,\]

令

\[N(r)=\frac{rD(r)}{H(r)}\]

这里的 $N(r)$ 就称为 $u$ 在 $B_r$ 内点的频率(frequency). 证明 $D(r)$ 可以写成一个曲面积分. 即有

\[D(r)=\frac{1}{2}\int_{B_r}\Delta u^2=\int_{\partial B_r}u u_n,\]

其中 $u_n$ 是 $u$ 关于法向的方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$.

References:

Qing Han(韩青), Nodal sets of solutions of elliptic differential equations.