[Def]$k$-阶偏微分方程
形如
\[F(D^k u(x),D^{k-1}u(x),\ldots,Du(x),u(x),x)=0,\quad(x\in U)\]
的式子称为一个 $k$-阶偏微分方程(partial differential equation), 这里
\[F:\mathbb{R}^{n^k}\times\mathbb{R}^{n^{k-1}}\times\cdots\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\times U\rightarrow\mathbb{R}\]
是给定的函数, 而 $u:\ U\rightarrow\mathbb{R}$ 是未知的, 要求的函数.
从 $F$ 的形式给出下面的一些分类.
(i) 线性偏微分方程
\[\sum_{|\alpha|\leqslant k}a_\alpha (x)D^\alpha u=f(x)\]
当 $f\equiv 0$ 时, 称它是齐性的.
(ii) 半线性 PDE