问题

\[
\begin{cases}
\Delta u=f(x) & \text{in}\ D,\\
\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}=h(x) & \text{on}\ \partial D.
\end{cases}
\]

由散度定理或 Green 第一恒等式(参见问题642), 

\[
\int_D\Delta u\mathrm{d}V=\int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\mathrm{d}S.
\]

将 $\Delta u=f(x)$ 和 $\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}=h(x)$ 代入上式, 得

\[
\int_D f(x)\mathrm{d}V=\int_{\partial D}h(x)\mathrm{d}S.
\]

因此, Neumann 方程中, $f(x)$ 和 $h(x)$ 之间是有关系的, 不可以随便选取, 否则将导致方程无解.

References:

https://www.math.ust.hk/~maklchan/ma4052/w12.pdf