在经典情形, 即 $\mathbb{R}^n$ 中的分析, 热函数是指热方程

\[ \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u \]

的解. 在抽象情形, 即在圆柱体 $I\times\Omega$ 上定义热函数有多种定义方式. 这里 $I$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个区间, $\Omega$ 是 $X$ 的一个开集. 但不管是如何定义的, 只要满足下面的性质, 我们都认为是可以的.

1. $I\times\Omega$ 上所有热函数的全体是 $\mathbb{R}$ 上的一个线性空间;
2. 若 $I'\subset I$, $\Omega'\subset\Omega$, 则 $I\times\Omega$ 上的任意一个热函数也是 $I'\times\Omega'$ 上的热函数.
3. 对任意 $g\in L^2(\Omega,\mu)$, 函数 $(t,x)\mapsto P_t^{\Omega}g(x)$ 是 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上的一个热函数.
4. 若 $\Omega$ 是相对紧的(relatively compact), 则 $\Omega$ 上的常值函数是 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上某个关于时间独立的热函数在 $\Omega$ 上的限制.
5. (super-mean value inequality)对 $\mathbb{R}_{+}\times\Omega$ 上的任意非负热函数 $u(t,x)$, 总有下述不等式成立: \[ u(t,\cdot)\geqslant P_{t-s}^{\Omega}u(s,\cdot),\quad\text{对所有}\ 0 < s < t. \] (我们要说明的是, 当写成这种形式的不等式时, 即假设它们是针对 $L^2(X,\mu)$ 中的函数的, 而不是指点点这样的.)

 

$(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})u=0$ 的基本解是

\[
u(x,t)=\dfrac{\exp(-\frac{r^2}{4t})}{(4\pi t)^{n/2}}
\] 

见 [1] P. 101.

 

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Reference:

[1] 丘成桐, 孙理察  著  《微分几何讲义》

设 $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$ ($1\leq p\leq +\infty$) 为由所有前 $k$ 次弱导数属于 $L^p(\mathbf{R}^n)$ 的函数所构成的 Sobolev 空间, 即\r \[ W^{k,p}(\mathbf{R}^n)=\{u\in L^p(\mathbf{R}^n)|\tilde{\partial}^{\alpha}u\in L^p(\mathbf{R}^n),|\alpha|\leq k\}. \] (i) 若 $k>\ell$, $1\leq p < q \leq +\infty$, 使满足 $(k-\ell)p < n $ 且\r \[ \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k-\ell}{n}, \] 则\r \[ W^{k,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq W^{\ell,p}(\mathbf{R}^n), \] 并且嵌入是连续的.
特别的, 当 $k=1$ 且 $\ell=0$ 时, Sobolev 嵌入定理得\r \[ W^{1,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq L^{p^*}(\mathbf{R}^n), \] 其中 $p^*$ 定义为 $\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$, 称为 $p$ 的 Sobolev 对偶. 此时, 该嵌入可由 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式直接推出.

设 $u$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续可微实值函数, 则对于 $1\leq p < n $, 存在常数 $C$(仅依赖于 $n,p$), 使得 \[ \|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf{R}^n)}, \] 其中 $p^*=\frac{np}{n-p}>p$ 是 $p$ 的 Sobolev 对偶.

假设 $u\in W^{m,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$, 则有 \[ \| D^j u\|_{L^r(\Omega)}\leq C\big[\| u\|_{L^p(\Omega)}+\| D^m u\|_{L^p(\Omega)}\big]^\theta\cdot\| u\|_{L^q(\Omega)}^{1-\theta}, \] 其中 $\|\cdot\|_p=\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}$, $\frac{j}{m}\leq\theta\leq 1$, 且满足下述关系r \[ \frac{1}{r}-\frac{j}{n}=\theta(\frac{1}{p}-\frac{m}{n})+(1-\theta)\frac{1}{q}. \]

简称 KP 方程
\[ u_{tx}+\alpha(u_x^2+uu_{xx})+\gamma u_{xxxx}+\varepsilon u_{yy}=0, \] 其中 $\alpha,\gamma,\varepsilon$ 均为自由参数. KP 方程可看作 KdV 方程在高维情形的推广, 它用于描述水波的运动.

 

KP 方程虽然来自于应用数学, 但随后被证实它与代数几何、表示论及谱理论有关.

 

"非等谱特征参数的方程可能更具现实意义, 更接近现实模型"

"应用 Hirota 方程和 Wronskian 技巧, 可以解决非等谱 KP 方程"

Sine–Gordon equation
\[ u_{xx}-u_{tt}-\sin u=0 \]

Schrödinger equation
\[ -iu_t+\alpha u_{xx}+\beta|u|^2u=0, \] 其中 $i=\sqrt{-1}$, $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为频散系数和 Landou 系数, $|u|^2=uu^*$, $u^*$ 是 $u$ 的复共轭.

\[ u_{tt}-\alpha u_{xx}-\beta(u^2)_{xx}-\gamma u_{xxxx}=0, \] 其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 为参数.

Burgers\' equation
\[ u_t+uu_x-\alpha u_{xx}=0 \] 其中 $\alpha$ 为耗散系数.

Korteweg–de Vries equation
\[ u_t+6uu_x+u_{xxx}=0 \]