设 $f(x)\in C[0,2]$, $f$ 在 $(0,2)$ 内可导, $f(2)=0$. 证明: 存在 $\xi\in(0,2)$, 使得 $(1+\xi)f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.
设 $f(x)\in C[0,2]$, $f$ 在 $(0,2)$ 内可导, $f(2)=0$. 证明: 存在 $\xi\in(0,2)$, 使得
\[(1+\xi)f(\xi)+\xi f'(\xi)=0.\]
[分析]
将 $\xi$ 换成 $x$,
\[
(1+x)f(x)+xf'(x)=xf(x)+\bigl(xf(x)\bigr)'
\]
故考虑函数
\[
g(x)=xf(x)+\int_0^x tf(t)dt,
\]
$g(x)$ 满足 $g'(x)=\bigl(xf(x)\bigr)'+xf(x)$, 且 $g(0)=0$. 但是 $g(2)$ 不一定为0.
因此, 进一步的考虑
\[
h(x)=xf(x)+\int_0^x tf(t)dt-A\cdot\frac{x}{2},
\]
其中 $A=\int_0^2 tf(t)dt$.
于是 $h(x)\in C[0,2]$, 且在 $(0,2)$ 内可导, $h(0)=h(2)=0$. 不过此时
\[
h'(x)=\bigl(xf(x)\bigr)'+xf(x)-\frac{A}{2}
\]