问题及解答

设 $f$ 是黎曼流形 $(M^n,g)$ 上的一个 $C^k$ 函数($k\geqslant 2$). 定义 $f$ 的 Laplacian 为

\[\Delta f:=\text{div}(\text{grad}f).\]

则 $\Delta f\in C^{k-1}$.

这里 $\text{grad}f$ 是 $f$ 的梯度向量场, 定义为: 对 $M$ 上的任意向量场 $\xi$, 都有

\[\langle\text{grad}f, \xi\rangle=\xi f.\]

其中 $\xi f$ 是沿 $\xi$ 方向对 $f$ 的方向导数.

而散度 $\text{div}X$ 的定义为

\[\text{div}X=\text{trace}(\xi\mapsto\nabla_{\xi}X).\]

证明:

(1)

\[
\begin{aligned}
\text{div}(X+Y)&=\text{div}X+\text{div}Y,\\
\text{div}(fX)&=f(\text{div}X)+\langle\text{grad}f,X\rangle.\\
\end{aligned}
\]

(2)

\[
\begin{aligned}
\Delta(f+h)&=\Delta f+\Delta h,\\
\text{div}(h(\text{grad}f))&=h(\Delta f)+\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle,\\
\Delta(fh)&=h(\Delta f)+2\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle+f(\Delta h).\\
\end{aligned}
\]

下面使用局部坐标写出上面这些算子的表达式. 设 $U$ 是 $M$ 的一个开集, $p\in U$. $x:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是 $U$ 映到 $\mathbb{R}^{n}$ 中某区域的一个微分同胚, 也就是 $x$ 是一个图卡. 则相应于此图卡, 有 $n$ 个向量场, $\partial_j:=\frac{\partial}{\partial x^j}$, $j=1,2,\ldots,n$. 沿这些方向的方向导数为

\[
(\partial_j(p))f=\frac{\partial(f\circ x^{-1})}{\partial x^j}(x(p)).
\]

对每一点 $p\in U$, 向量 $\{\partial_1(p),\ldots,\partial_n(p)\}$ 张成了 $M_p$(=$T_p(M)$). 因此对于 $M$ 上的向量场 $\xi$, 有

\[\xi=\sum_{j=1}^{n}\xi^j\partial_j.\]

从而对于 $f\in C^1(M)$, 有

\[
\xi f=\sum_j\xi^j\partial_j f.
\]

\[
\text{grad}(f)=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_{\ell}f)\partial_{k}.
\]

对于给定的黎曼度量 $g$, 记 $g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle_g$. 设 $u\in C^{k}(M)$, $k\geqslant 2$. $X$ 是 $M$ 上的 $C^1$ 向量场. 局部表示为 $X=\sum_j X^j\partial_j$, 证明:

\[
\text{grad}f=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_\ell f)\partial_k,
\]

\[
\text{div}X=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\sum_j\partial_j(X^j\sqrt{\det(g_{ij})}),
\]

\[
\Delta u=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\partial_k\bigl(\sqrt{\det(g_{ij})}g^{k\ell}\partial_\ell u\bigr).
\]

References:

Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry. Academic Press, 1984.

(1) 由于 $\nabla_{\xi}X$ 关于 $X$ 是线性的, 因此显然有 $\text{div}(X+Y)=\text{div}X+\text{div}Y$.

\[
\begin{split}
\text{div}(fX)&=\text{trace}(\xi\mapsto\nabla_{\xi}(fX))\\
&=\text{trace}(\xi\mapsto(\xi f)X+f\nabla_{\xi}(X))\\
&=\langle\text{grad}f,X\rangle+f\text{div}X.
\end{split}
\]

(2) 利用(1) 中关于 $\text{div}$ 的性质, 得

\[
\Delta(f+h)=\text{div}(\text{grad}(f+h))=\text{div}(\text{grad}f+\text{grad}h)=\text{div}(\text{grad}f)+\text{div}(\text{grad}h)=\Delta f+\Delta h.
\]

\[
\text{div}(h(\text{grad}f))=h\text{div}(\text{grad}f)+\langle\text{grad}h,\text{grad}f\rangle=h\Delta f+\langle\text{grad}h,\text{grad}f\rangle.
\]

\[
\begin{split}
\Delta(fh)&=\text{div}(\text{grad}(fh))\\
&=\text{div}(f\text{grad}h+h\text{grad}f)\\
&=\text{div}(f\text{grad}h)+\text{div}(h\text{grad}f)\\
&=f\Delta h+\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle+h\Delta f+\langle\text{grad}h,\text{grad}f\rangle\\
&=f\Delta h+2\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle+h\Delta f.
\end{split}
\]

注意到

\[
\sum_j\xi^j\partial_j f=\sum_{j,k,\ell}\xi^j g_{jk}g^{k\ell}\partial_\ell f=\bigl\langle\xi^j\partial_j,\ \sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_\ell f)\partial_k\bigr\rangle,
\]

这对任意向量场 $\xi=\xi^j\partial_j$ 都成立, 因此根据 $\text{grad}f$ 的定义, 得

\[\text{grad}f=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_\ell f)\partial_k.\]

计算散度 $\text{div}X$ 的局部表达式需要用到 Christoffel 符号 $\Gamma_{ij}^k$, 这是由 $\nabla_{\partial_i}^{\nabla_j}=\sum_k\Gamma_{ij}^{k}\partial_k$ 所定义的 $n^3$ 个函数.

\[
\begin{split}
\nabla_{\xi}X&=\nabla_{\xi^j\partial_j}(X^k\partial_k)\\
&=\xi^j\nabla_{\partial_j}(X^k\partial_k)\\
&=\xi^j\bigl[(\partial_j X^k)\partial_k+X^k\nabla_{\partial_j}\partial_k\bigr]\\
&=\xi^j\bigl[(\partial_j X^k)\partial_k+X^k\Gamma_{jk}^{\ell}\partial_\ell\bigr]\\
&=\xi^j\bigl[(\partial_j X^k)\partial_k+X^{\ell}\Gamma_{j\ell}^{k}\partial_k\bigr]\\
&=\xi^j\bigl(\partial_j X^k+X^{\ell}\Gamma_{j\ell}^{k}\bigr)\partial_k.\\
\end{split}
\]

根据散度的定义 $\text{div}X=\text{trace}(\xi\mapsto\nabla_{\xi}X)$, 我们得

\[
\text{div}X=\sum_{j}\bigl(\partial_j X^j+X^{\ell}\Gamma_{j\ell}^{j}\bigr).
\]

因此还需计算 $\Gamma_{j\ell}^j$ 的局部表达式.

散度 $\text{div}(X)$ 定义为 $L_X\Omega=\text{div}(X)\Omega$, 由此可推出$\text{div}(X)=\langle\nabla_{e_i}X, e_i\rangle$. (详见书 P.119) 也可将散度 $\text{div}(X)$ 直接定义为 $\text{tr}(\nabla X)$. 这两者是一致的. 这里的 $\nabla X$ 是 $(1,1)$- 型张量场, $\text{tr}(\nabla X)$ 在局部标架下定义为
\[
\text{tr}(\nabla X)=\sum_{i=1}^{n}g(\nabla_{e_i}X,e_i)=\langle\nabla_{e_i}X, e_i\rangle.
\]
其中 $\{e_i\}_{i=1}^{n}$ 是 $T_x M$ 的一个标准正交基, 因此 $\text{tr}(\nabla X)$ 是 $M$ 上的一个函数.

若在局部坐标系下, $\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}$ 是 $T_x M$ 的一个基, $\{dx^1,\ldots,dx^n\}$ 是其对偶基. 则有
\[
\text{tr}(\nabla X)=dx^i(\nabla_{\partial_i}X)=\sum_{i=1}^{n}g(\nabla_{\partial_i}X,\partial_i).
\]
事实上, 设 $e_i=b_{i}^{j}\partial_j$,
\[
\delta_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle_g=\langle b_{i}^{k}\partial_k, b_{j}^{\ell}\partial_{\ell}\rangle=b_{i}^{k}b_{j}^{\ell}g_{k\ell}=b_{i}^{k}g_{k\ell}b_{j}^{\ell}.
\]
令 $B=(b_{i}^{j})_{n\times n}$. 则可写成矩阵的形式 $BGB^T=I_n$, 这里 $G=(g_{ij})_{n\times n}$. 于是推出 $B^T\cdot BG=I_n$, 故 $B^T B=G^{-1}=(g^{ij})_{n\times n}$. 因此
\[
\sum_{k}b_{k}^{i}b_{k}^{j}=g^{ij}.
\]
于是
\[
\begin{split}
\text{tr}(\nabla X)&=\sum_{i=1}^{n}g(\nabla_{e_i}X,e_i)\\
&=\sum_{i=1}^{n}g(\nabla_{b_{i}^{k}\partial_k}X,b_{i}^{\ell}\partial_{\ell})\\
&=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{k}b_{i}^{\ell}g(\nabla_{\partial_k}X,\partial_{\ell})\\
&=g^{k\ell}\cdot g(\nabla_{\partial_k}X,\partial_{\ell}).
\end{split}
\]
若在局部法坐标系下, 由于 $g_{ij}(0)=\delta_{ij}$, 故 $\text{tr}(\nabla X)=\sum\limits_{i=1}^{n}g(\nabla_{\partial_i}X,\partial_i)$.

{\bf Laplace 算子} Laplace 算子可以定义为
\[
\Delta f=\text{tr}(\nabla S),
\]
其中 $S=\nabla f=\text{grad}f$ 是 $f$ 的梯度. 于是
\[
\Delta f=\text{tr}(\nabla(\nabla f))=\text{div}(\nabla f).
\]
也记 $\text{tr}(\nabla(\nabla f))=\text{tr}(\nabla^2 f)=\text{tr}(\text{Hess} f)$.

或者等价地定义 $\Delta f=\text{div}(\text{grad} f)$. 则可推出 $\Delta f=\text{tr}\nabla^2 f$. (参见书 P.120, 命题 3.2.5.)

根据上面散度的局部表示式, 我们得到
\[
\Delta f=g^{ij}\cdot g(\nabla_{\partial_i}X,\partial_j)=g^{ij}\cdot\nabla^2 f(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}).
\]
由此, 可进一步计算得到下面的公式
\[
\Delta f=\frac{1}{\sqrt{G}}\frac{\partial}{\partial x^k}(g^{ik}\sqrt{G}\frac{\partial f}{\partial x^i}).
\]
特别的, 当给定 $p$ 点处某个法坐标系时, 我们得到如欧氏空间中的 Laplace 公式:
\[
\Delta f(p)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial x^i}f.
\]
(详见书 P.121, 命题 3.2.7.)

下面给出另一种计算方法(稍微复杂点). 我们改个记号, 计算 $\Delta u$.

$\Delta u=\text{div}(\nabla u)$, 根据梯度的局部表示, $\nabla u=g^{ij}\partial_i u\partial_j$, 记 $X=\nabla u=f^j\partial_j$, 即 $f^j=g^{ij}\partial_i u$. 于是 $\nabla X=\nabla(f^j\partial_j)=d(f^j)\cdot\partial_j+f^j\nabla\partial_j$. 因此,
\[
\nabla X=(\partial_k f^j)dx^k\otimes\partial_j+f^j\Gamma_{kj}^{\ell}dx^k\otimes\partial_{\ell},
\]
于是
\[
\text{div}(X)=\text{tr}(\nabla X)=\partial_k f^k+f^j\Gamma_{\ell j}^{\ell}=\partial_k f^k+f^k\Gamma_{\ell k}^{\ell}.
\]
因此
\[
\text{div}(\nabla u)=\partial_k(g^{ik}\partial_i u)+f^k\Gamma_{\ell k}^{\ell}.\tag{*}
\]
注意
\[
\partial_i\sqrt{G}=\frac{1}{2\sqrt{G}}\cdot\partial_i G=\frac{2\Gamma_{i\ell}^{\ell}G}{2\sqrt{G}}=\Gamma_{i\ell}^{\ell}\sqrt{G}.
\]
这里用到了 $\partial_i G=2\Gamma_{i\ell}^{\ell}G$, 这里注意对 $\ell$ 是求和的(证明见下面). 因此,
\[
\begin{split}
\Delta u=\text{div}(\nabla u)&=\partial_k(g^{ik}\partial_i u)+f^k\cdot\frac{1}{\sqrt{G}}\Gamma_{k\ell}^{\ell}\sqrt{G}\\
&=\partial_k(g^{ik}\partial_i u)+g^{ik}\partial_i u\cdot\frac{1}{\sqrt{G}}\Gamma_{k\ell}^{\ell}\sqrt{G}\\
&=\frac{1}{\sqrt{G}}\partial_k(\sqrt{G}g^{ik}\partial_{i}u).
\end{split}
\]
注意, 利用 $\partial_i G=2\Gamma_{i\ell}^{\ell}G$, ($*$) 也推出
\[
\text{div}(X)=\frac{1}{\sqrt{G}}\partial_i(\sqrt{G}X(x^i)).
\]
这里 $X=f^j\partial_j$, 因此 $X(x^i)=f^i$.

\noindent{\bf 断言.} $\partial_i G=2\Gamma_{i\ell}^{\ell}G$.\\
\noindent{\bf 证明.}
\[
\partial_i G=\sum_{k=1}^{n}
\begin{vmatrix}
g_{11} & \cdots & g_{1n}\\
\vdots &        & \vdots\\
\partial_i g_{k1} & \cdots & \partial_i g_{kn}\\
\vdots &        & \vdots\\
g_{n1} & \cdots & g_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
而
\[
\partial_i g_{kj}=\partial_i\langle\partial_k,\partial_j\rangle=\langle\nabla_{\partial_i}\partial_k,\partial_j\rangle+\langle\partial_k,\nabla_{\partial_i}\partial_j\rangle=\Gamma_{ik}^{\ell}g_{\ell j}+\Gamma_{ij}^{\ell}g_{\ell k}.
\]
所以
\[
\begin{split}
\partial_i G&=\sum_{k=1}^{n}\biggl[
\begin{vmatrix}
g_{11} & \cdots & g_{1n}\\
\vdots &        & \vdots\\
\Gamma_{ik}^{\ell} g_{\ell 1} & \cdots & \Gamma_{ik}^{\ell} g_{\ell n}\\
\vdots &        & \vdots\\
g_{n1} & \cdots & g_{nn}\\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
g_{11} & \cdots & g_{1n}\\
\vdots &        & \vdots\\
\Gamma_{i1}^{\ell} g_{\ell k} & \cdots & \Gamma_{in}^{\ell} g_{\ell k}\\
\vdots &        & \vdots\\
g_{n1} & \cdots & g_{nn}\\
\end{vmatrix}
\biggr]\\
&=\sum_{k=1}^{n}\biggl[
\sum_{\ell=1}^{n}\Gamma_{ik}^{\ell}
\begin{vmatrix}
g_{11} & \cdots & g_{1n}\\
\vdots &        & \vdots\\
g_{\ell 1} & \cdots & g_{\ell n}\\
\vdots &        & \vdots\\
g_{n1} & \cdots & g_{nn}\\
\end{vmatrix}
+\sum_{\ell=1}^{n}g_{\ell k}
\begin{vmatrix}
g_{11} & \cdots & g_{1n}\\
\vdots &        & \vdots\\
\Gamma_{i1}^{\ell} & \cdots & \Gamma_{in}^{\ell}\\
\vdots &        & \vdots\\
g_{n1} & \cdots & g_{nn}\\
\end{vmatrix}
\biggr]\\
&=\sum_{k=1}^{n}\Bigl[\sum_{\ell=1}^{n}\Gamma_{ik}^{\ell}\cdot\delta_{\ell k}G+\sum_{\ell=1}^{n}g_{\ell k}\cdot\sum_{j=1}^{n}\Gamma_{ij}^{\ell}\cdot A_{kj}\Bigr]\\
&=\sum_{k=1}^{n}(\Gamma_{ik}^{k}G)+\sum_{k=1}^{n}\sum_{\ell=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}g_{\ell k}\Gamma_{ij}^{\ell}A_{kj}\\
&=\sum_{k=1}^{n}(\Gamma_{ik}^{k})G+\sum_{j=1}^{n}\sum_{\ell=1}^{n}\Gamma_{ij}^{\ell}\sum_{k=1}^{n}g_{\ell k}A_{kj}\\
&=\sum_{k=1}^{n}(\Gamma_{ik}^{k})G+\sum_{j=1}^{n}\sum_{\ell=1}^{n}\Gamma_{ij}^{\ell}\delta_{\ell j}G\\
&=\sum_{k=1}^{n}(\Gamma_{ik}^{k})G+\sum_{j=1}^{n}\Gamma_{ij}^{j}G\\
&=2\sum_{k=1}^{n}(\Gamma_{ik}^{k})G.
\end{split}
\]
因此 $\partial_i G=2(\Gamma_{ik}^k)G$, 这里对指标 $k$ 求和.