问题及解答

(圆形)螺旋面是指边界是一螺旋线的极小曲面. Catalan 1842 年, do Carmo 1986 年 证明了它是除平面之外的仅有的直纹最小曲面(ruled minimal surface). 很多年来, 螺旋面一直是所知的具有有限拓扑和无穷曲率的完备嵌入极小曲面的仅有例子. 但在1992年, 人们知道了第二个例子(Sci. News 1992), 就是 Hoffman 的极小曲面, 它由带孔的螺旋面组成.

 The helicoid is the only non-rotary surface which can glide along itself (Steinhaus 1999, p. 231).

螺旋面在 z 轴方向的方程是  $z=c\theta$, 在平面直角坐标系下的方程是

\[\frac{y}{x}=\tan\frac{z}{c}=\tan\theta.\]

或者使用参数方程

\[
\begin{cases}
x=u\cos v\\
y=u\sin v\\
z=cv
\end{cases}
\]

计算其第一、第二基本形式，给出其面积元，求 Gauss 曲率.

如果将 $z=cv$ 改为 $z=-cv$, 则得到了锥面(cone)而不是螺旋面.

（圆形）螺旋面的方程显然可以推广到椭圆形螺旋面, 方程是

\[
\begin{cases}
x(u,v)=av\cos u\\
y(u,v)=bv\sin u\\
z(u,v)=cu
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x&=r_0[\cos(\theta+\phi)+\phi\sin(\theta+\phi)],\\
y&=r_0[\sin(\theta+\phi)-\phi\cos(\theta+\phi)],\\
z&=b\theta,
\end{cases}
\]

参考文献:

http://mathworld.wolfram.com/Helicoid.html

这里我们对于方程

\[x=u\cos v,\quad y=u\sin v,\quad z=cv\]

进行计算. 首先

\[
\begin{aligned}
&\vec{r}_u=(x_u,y_u,z_u)=(\cos v,\sin v,0),\\
&\vec{r}_v=(x_v,y_v,z_v)=(-u\sin v,u\cos v,c),\\
&\vec{r}_{uu}=(0,0,0),\\
&\vec{r}_{uv}=(-\sin v,\cos v,0),\\
&\vec{r}_{vv}=(-u\cos v,-u\sin v,0).\\
\end{aligned}
\]

于是

\[
\vec{r}_u\times\vec{r}_v=
\begin{vmatrix}
i & j & k\\
\cos v & \sin v & 0\\
-u\sin v & u\cos v & c
\end{vmatrix}=(c\sin v,-c\cos v, u)
\]

从而法向量为

\[
\vec{n}=\frac{\vec{r}_u\times\vec{r}_v}{|\vec{r}_u\times\vec{r}_v|}=\frac{1}{\sqrt{c^2+u^2}}(c\sin v,-c\cos v, u).
\]

(1) 曲面的第一基本量（即第一基本形式的系数）$E,F,G$ 分别为:

\[
\begin{aligned}
E&=x_u^2+y_u^2+z_u^2=\cos^2 v+\sin^2 v+0=1,\\
F&=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=(\cos v,\sin v,0)\cdot(-u\sin v,u\cos v,c)=0,\\
G&=x_v^2+y_v^2+z_v^2=u^2\sin^2v+u^2\cos^2v+c^2=u^2+c^2.
\end{aligned}
\] 

从而第一基本形式是

\[
I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2=du^2+(u^2+c^2)dv^2
\]

(2) 曲面的第二基本量（即曲面第二基本形式的系数）为

\[
\begin{aligned}
&e=L=\vec{r}_{uu}\cdot\vec{n}=0\\
&f=M=\vec{r}_{uv}\cdot\vec{n}=\frac{-c}{\sqrt{c^2+u^2}}\\
&g=N=\vec{r}_{vv}\cdot\vec{n}=0\\
\end{aligned}
\]

从而第二基本形式是

\[
II=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=\frac{-2c}{\sqrt{c^2+u^2}}dudv.
\]

Gauss 曲率为

\[
K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=-\frac{c^2}{(c^2+u^2)^2}.
\]