已知椭球面
\[\Sigma:\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\]
和平面
\[\pi:\quad Ax+By+Cz+1=0,\]
试求它们相交、相切和相离的条件.
Hint, 设 $\pi_1$ 是椭球面的切平面, 并且平行于 $\pi$, 切点为 $M(x_0,y_0,z_0)$. 回忆切平面的法向向量为
\[\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)\]
从而可写出切平面的方程
\[
\pi_1:\ \frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{a^2}(z-z_0)=0.
\]
然后利用点到平面的距离公式, 即可求解本题.
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(接 Hint)
由于 $(x_0,y_0,z_0)$ 在椭球面上, 故满足 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1$. 因此切平面方程化简为
\[
\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y+\frac{z_0}{c^2}z=1.
\]
由于 $\pi_1\|\pi$, 故 $(\frac{x_0}{a^2},\frac{y_0}{b^2},\frac{z_0}{c^2})=t(A,B,C)$, 这里 $t$ 是一正数. 将 $x_0=tAa^2,y=tBb^2,z=tCc^2$ 代入 $\Sigma$ 的方程, 得
\[
t^2(A^2 a^2+B^2 b^2+C^2 c^2)=1,
\]
即
\[
t=\frac{1}{\sqrt{A^2 a^2+B^2 b^2+C^2 c^2}}.
\]