记 $f_m(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$, $m\in\mathbb{N}$. 由问题2598 关于其高阶导数的计算,
\[
f_m^{(n)}(x)=\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!}\cdot\frac{1}{(1-x)^{n+m}},
\]
于是 $f_m^{(n)}(0)=\dfrac{(n+m-1)!}{(m-1)!}$. 因此
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f_m^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!}\cdot x^n=\sum_{n=0}^{\infty}C_{n+m-1}^{n}x^n
\]
接下来验证其余项 $R_n(x)\rightarrow 0$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时. 从而
\[
\frac{1}{(1-x)^m}=\sum_{n=0}^{\infty}C_{n+m-1}^{n}x^n,\quad x\in(-1,1)
\]
例如:
$m=1$ 时, $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 的 Taylor 展开为
\[
\sum_{n=0}^{\infty}C_n^0 x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\]
\[
\begin{split}
R_n(x)&=\frac{1}{1-x}-(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)\\
&=\frac{1-(1-x)(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)}{1-x}\\
&=\frac{1-(1-x^{n+1})}{1-x}\\
&=\frac{x^{n+1}}{1-x}\rightarrow 0,\quad (n\rightarrow\infty)
\end{split}
\]
对于 $x\in(-1,1)$.
$m=2$ 时, $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 的 Taylor 展开为
\[
\sum_{n=0}^{\infty}C_{n+1}^1 x^n=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n+\cdots
\]
\[
\begin{split}
R_n(x)&=\frac{1}{(1-x)^2}-\Bigl[1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n\Bigr]\\
&=\frac{1}{(1-x)^2}\cdot\Bigl[1-(1-2x+x^2)\bigl(1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n\bigr)\Bigr]\\
&=\frac{1}{(1-x)^2}\cdot\Bigl[(n+2)x^{n+1}-(n+1)x^{n+2}\Bigr]\\
&\rightarrow 0,\quad (n\rightarrow\infty)
\end{split}
\]
对于 $x\in(-1,1)$.
