(1)
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(x+2)^n}{n\cdot 2^n}=\frac{x+2}{2}+\frac{(x+2)^2}{2\cdot 2^2}+\frac{(x+2)^3}{3\cdot 2^3}+\frac{(x+2)^4}{4\cdot 2^4}+\cdots
\]
(2)
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n!}
\]
(3)
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n+\cdots
\]
1
令 $y=x+2$, 考虑幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{y^n}{n\cdot 2^n}$.
\[
R=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigr|}=\dfrac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\biggl|\dfrac{\frac{1}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}}{\frac{1}{n\cdot 2^n}}\biggr|}=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{n\cdot 2^n}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}}=2.
\]
所以收敛区间为 $(-2,2)$.
当 $y=2$ 时, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n\cdot 2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 发散.
当 $y=-2$ 时, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n\cdot 2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ 收敛.
收敛域为 $[-2,2)$. 因此 $x\in[-4,0)$.
2
(2) 由于 $\bigl|\frac{\sin nx}{n!}\bigr|\leqslant\frac{1}{n!}$, 而 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$ 收敛, 所以原级数对任意 $x\in\mathbb{R}$ 绝对收敛. 收敛域为 $(-\infty,+\infty)$.
3
\[
R=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr|}=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\biggl|\frac{(-1)^n\frac{1}{n+1}}{(-1)^{n-1}\frac{1}{n}}\biggr|}=1.
\]
所以收敛区间为 $(-1,1)$.
当 $x=-1$ 时, 原级数为 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\cdot(-1)^{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{-1}{n}$ 发散;
当 $x=1$ 时, 原级数为 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ 收敛.
因此收敛域为 $(-1,1]$.
设和函数为 $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n$. 在 $(-1,1)$ 内, 可以逐项求导
\[
\begin{split}
S'(x)&=\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n\Bigr)'=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot x^{n-1}\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}(-x)^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n}\\
&=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}.
\end{split}
\]
注意 $S(0)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\cdot 0^n=0$.
故
\[
S(x)=\int_0^x S'(t)dt=\int_0^x \frac{1}{1+t}dt=\ln(1+t)\bigr|_{0}^{x}=\ln(1+x),\quad x\in(-1,1).
\]
根据和函数在收敛域上的连续性, 知 $S(1)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}=\ln 2$. 因此
\[
S(x)=\ln(1+x),\quad x\in(-1,1].
\]