问题及解答

设 $(\mathbb{E},V)$ 是 2 维欧几里得空间, 仿射自同构 $f\in Aff(\mathbb{E})$ 保持内积空间 $V$ 中任意两个向量的夹角不变. 证明: $f$ 的“线性”部分是 $V$ 上正交变换的常数倍.

Remark:

这里 $f$ 的“线性”部分是指去掉平移部分后的变换.

不妨将 $f$ 的“线性”部分记为  $Df$. 设 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ 是内积空间 $V$ 的一组标准正交基, （我个人认为称为一个标准正交基比较确切, 线性代数中所谓的基, 应该指一组向量构成的整体. ）

则 $\vec{e}_1\perp\vec{e}_2$. 于是在 $Df$ 的作用下, 保持正交, 即有 $Df(\vec{e}_1)\perp Df(\vec{e}_2)$.

对于 $\vec{e}_1,\vec{e}_1+\vec{e}_2$, 它们的夹角在 $Df$ 作用下也不变, 即有

\[
\angle(\vec{e}_1,\vec{e}_1+\vec{e}_2)=\angle(Df(\vec{e}_1),Df(\vec{e}_1)+Df(\vec{e}_2)).
\]

这推出

\[
\begin{split}
\Leftrightarrow &\frac{\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1+\vec{e}_2\rangle}{|\vec{e}_1|\cdot|\vec{e}_1+\vec{e}_2|}=\frac{\langle Df(\vec{e}_1),Df(\vec{e}_1)+Df(\vec{e}_2)\rangle}{|Df(\vec{e}_1)|\cdot|Df(\vec{e}_1)+Df(\vec{e}_2)|}\\
\Leftrightarrow &\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|Df(\vec{e}_1)|}{|Df(\vec{e}_1)+Df(\vec{e}_2)|}\\
\Leftrightarrow &|Df(\vec{e}_1)|=|Df(\vec{e}_2)|=:\lambda\in\mathbb{R}
\end{split}
\]

任取 $V$ 上的正交变换 $\mathbb{A}: V\rightarrow V$. 假设在基 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ 下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$, 于是 $A\in O(2)$.

记

\[
\begin{pmatrix}\vec{u}\\ \vec{v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vec{e}_1\\ \vec{e}_2\end{pmatrix}
\]

则

\[
\begin{split}
\langle Df(\vec{u}), Df(\vec{v})\rangle &=\langle aDf(\vec{e}_1)+bDf(\vec{e}_2), cDf(\vec{e}_1)+dDf(\vec{e}_2)\rangle\\
&=ac|Df(\vec{e}_1)|^2+bd|Df(\vec{e}_2)|^2\\
&=(ac+bd)|Df(\vec{e}_1)|^2\\
&=\lambda\langle\vec{u},\vec{v}\rangle.
\end{split}
\]

Q.E.D.