判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性.
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性.
Answer
问题及解答
1
通项 $u_n=\frac{n!}{n^n}$, 则
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)\cdot n!}{(n+1)\cdot(n+1)^n}\cdot\frac{n^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e} < 1
\]
故原级数收敛.