函数 $f(x)$ 定义为
\[
f(x)=\begin{cases}
c\int_{\max\{0,x-1\}}^{x}ye^{-y}\mathrm{d}y, & x\geqslant 0,\\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]
这里 $c$ 是正常数. 并且 $f(x)$ 满足 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$.
求 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x$ 的值.
Remark:
题目来源于浙江大学某老师布置的题目.
1
当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时, $f(x)=c\int_{0}^{x}ye^{-y}\mathrm{d}y$. 而
\[
\begin{split}
\int_{0}^{x}ye^{-y}\mathrm{d}y&=\int_{0}^{x}(-y)\mathrm{d}e^{-y}\\
&=(-ye^{-y})\biggr|_{0}^{x}-\int_{0}^{x}e^{-y}\mathrm{d}(-y)=-xe^{-x}+\int_{0}^{x}e^{-y}\mathrm{d}y\\
&=-xe^{-x}+(-e^{-y})\biggr|_{0}^{x}=-xe^{-x}-(e^{-x}-1)\\
&=-xe^{-x}-e^{-x}+1
\end{split}
\]
因此, 当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时, $f(x)=c(-xe^{-x}-e^{-x}+1)$.
当 $x > 1$ 时,
\[
\begin{split}
f(x)&=c\int_{x-1}^{x}ye^{-y}\mathrm{d}y=c\biggl[\int_{0}^{x}ye^{-y}\mathrm{d}y-\int_{0}^{x-1}ye^{-y}\mathrm{d}y\biggr]\\
&=c\biggl[(-xe^{-x}-e^{-x}+1)-\Bigl(-(x-1)e^{-(x-1)}-e^{-(x-1)}+1\Bigr)\biggr]\\
&=c\Bigl[-(x+1)e^{-x}+xe^{1-x}\Bigr]\\
\end{split}
\]
因此,
\[
f(x)=\begin{cases}
c\Bigl[-(x+1)e^{-x}+xe^{1-x}\Bigr], & x > 1,\\
c(-xe^{-x}-e^{-x}+1), & 0\leqslant x\leqslant 1,\\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]
易见, $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数.
由条件, $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$, 故有
\[
\begin{split}
1&=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\\
&=\int_{0}^{1}c(-xe^{-x}-e^{-x}+1)\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}c\Bigl[-(x+1)e^{-x}+xe^{1-x}\Bigr]\mathrm{d}x\\
&=c\biggl[\int_{0}^{1}(-xe^{-x})\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}(-e^{-x})\mathrm{d}x+1\biggr]+c\biggl[\int_{1}^{\infty}(-1)(x+1)e^{-x}\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}xe^{1-x}\mathrm{d}x\biggr]\\
&=c\Bigl[(2e^{-1}-1)+(e^{-1}-1)+1\Bigr]+c\Bigl[-3e^{-1}+2\Bigr]\\
&=c
\end{split}
\]
即 $c=1$. 于是 $f(x)$ 的表达式为
\[
f(x)=\begin{cases}
-(x+1)e^{-x}+xe^{1-x}, & x > 1,\\
1-(x+1)e^{-x}, & 0\leqslant x\leqslant 1,\\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]
下面求 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x$.
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x&=\int_{0}^{1}xf(x)\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x\\
&=\int_{0}^{1}x\Bigl(1-(x+1)e^{-x}\Bigr)\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}x\Bigl(-(x+1)e^{-x}+xe^{1-x}\Bigr)\mathrm{d}x\\
&=\int_{0}^{1}x\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}x(x+1)e^{-x}\mathrm{d}x-\int_{1}^{\infty}x(x+1)e^{-x}\mathrm{d}x+e\int_{1}^{\infty}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{2}-\int_{0}^{\infty}x(x+1)e^{-x}\mathrm{d}x+e\int_{1}^{\infty}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x\qquad (*)
\end{split}
\]
其中
\[
\begin{split}
-\int_{0}^{\infty}x(x+1)e^{-x}\mathrm{d}x&=\int_{0}^{\infty}x(x+1)\mathrm{d}e^{-x}\\
&=x(x+1)e^{-x}\biggr|_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\mathrm{d}(x(x+1))\\
&=0-0-\int_{0}^{\infty}e^{-x}(2x+1)\mathrm{d}x\\
&=\int_{0}^{\infty}(2x+1)\mathrm{d}e^{-x}\\
&=(2x+1)e^{-x}\biggr|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\mathrm{d}(2x+1)\\
&=0-e^{-0}-2\int_{0}^{\infty}e^{-x}\mathrm{d}x\\
&=-1-2\cdot(-e^{-x})\biggr|_{0}^{\infty}\\
&=-1+2\cdot(0-1)\\
&=-3
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
e\int_{1}^{\infty}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x&=-e\int_{1}^{\infty}x^2\mathrm{d}e^{-x}\\
&=-e\biggl[x^2 e^{-x}\biggr|_{1}^{\infty}-\int_{1}^{\infty}e^{-x}\mathrm{d}x^2\biggr]\\
&=-e\biggl[0-e^{-1}-\int_{1}^{\infty}2xe^{-x}\mathrm{d}x\biggr]\\
&=1+2e\int_{1}^{\infty}xe^{-x}\mathrm{d}x\\
&=1-2e\int_{1}^{\infty}x\mathrm{d}e^{-x}\\
&=1-2e\biggl[xe^{-x}\biggr|_{1}^{\infty}-\int_{1}^{\infty}e^{-x}\mathrm{d}x\biggr]\\
&=1-2e\biggl[0-e^{-1}+e^{-x}\biggr|_{1}^{\infty}\biggr]\\
&=1-2e(-e^{-1}+0-e^{-1})\\
&=5
\end{split}
\]
因此,
\[
\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-3+5=\frac{5}{2}.
\]
事实上, 上面 (*) 式可写为
\[
\begin{split}
&\frac{1}{2}-\int_{0}^{\infty}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x-\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\mathrm{d}x+e\biggl(\int_{0}^{\infty}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x\biggr)\\
=&\frac{1}{2}-\Gamma(3)-\Gamma(2)+e\cdot\Bigl(\Gamma(3)-\int_{0}^{1}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x\Bigr)
\end{split}
\]
经过简单计算可得 $\int_{0}^{1}x^2 e^{-x}\mathrm{d}x=2-5e^{-1}$. 而根据 Gamma 函数的定义及性质(见问题714), $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, 且 $\Gamma(1)=1$. 故有
\[
\Gamma(2)=1\cdot\Gamma(1)=1,\qquad\Gamma(3)=2\cdot\Gamma(2)=2.
\]
于是
\[
\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-2-1+e\cdot\Bigl(2-(2-5e^{-1})\Bigr)=\frac{5}{2}.
\]
注: 上面的函数 $f(x)$ 实际上可以看成是 $\mathbb{R}$ 上的一个密度函数, $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x$ 实际上是期望.