问题及解答

将函数 $f(x)=\ln(2+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数.

(法一)

\[f(x)=\ln(2+x)=\ln(2\cdot(1+\frac{x}{2}))=\ln 2+\ln(1+\frac{x}{2})\]

利用 $\ln(1+x)$ 的幂级数展开, 

\[
\ln(1+\frac{x}{2})=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{n}\cdot(\frac{x}{2})^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n2^n}x^n,
\]

这里 $x\in(-2,2]$. 于是

\[
f(x)=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n2^n}x^n,
\]

收敛域为 $(-2,2]$.

(法二)

$f'(x)=\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x}{2}}$, 利用 $\frac{1}{1+x}$ 的幂级数展开, 得

\[
\begin{split}
f'(x)&=\frac{1}{2}\cdot\Bigl(1-\frac{x}{2}+(\frac{x}{2})^2-(\frac{x}{2})^3+\cdots\Bigr)\\
&=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot(\frac{x}{2})^n
\end{split}
\]

这里 $\Bigl|\frac{x}{2}\Bigr| < 1$, 即 $x\in(-2,2)$.

由 Newton-Leibniz 公式, 

\[
\begin{split}
f(x)-f(0)&=\int_0^x f'(t)\mathrm{d}t\\
&=\int_0^x \frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot(\frac{t}{2})^n\mathrm{d}t\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{1}{2^{n+1}}\int_0^x t^n\mathrm{d}t\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{1}{2^{n+1}}\cdot\biggl(\frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr)\biggr|_0^x\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{1}{2^{n+1}}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}\\
&=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{1}{m\cdot 2^m}x^m
\end{split}
\]

上面第三个等号是在收敛区间 $(-2,2)$ 中应用逐项积分.

注意到 $f(0)=\ln 2$, 并且上面的级数在 $x=2$ 时收敛, 在 $x=-2$ 时发散. 故

\[
f(x)=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{1}{n\cdot 2^n}x^n,
\]

收敛域为 $(-2,2]$.