问题及解答

若函数 $f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上连续且严格单调递增, 问

\[I=\int_0^{2\pi}f(x)\sin x\mathrm{d}x\]

的符号是正还是负?

$f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上连续, 故可积.

不妨将 $[0,2\pi]$ 进行 $2n$ 等分, 即 $[0,\pi]$ 和 $[\pi,2\pi]$ 上都是 $n$ 等分.

\[
I_1=\int_0^{\pi}f(x)\sin x\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n}\pi)\cdot\sin(\frac{i}{n}\pi)
\]

\[
\begin{split}
I_2=\int_{\pi}^{2\pi}f(x)\sin x\mathrm{d}x&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f((1+\frac{i}{n})\pi)\cdot\sin((1+\frac{i}{n})\pi)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f((1+\frac{i}{n})\pi)\cdot(-1)\sin(\frac{i}{n}\pi)\\
&< (-1)\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n}\pi)\cdot\sin(\frac{i}{n}\pi)\\
&= -I_1
\end{split}
\]

因此,

\[
I=I_1+I_2 < 0.
\]