问题及解答

大概在1825年人们提出了这个问题, 即猜测连续的 $k$ 个正整数的乘积不可能是一个数的幂, 也即

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (n+1)(n+2)\cdots (n+k)=x^{\ell }\end{array}$$

无解, 这里 $n\ge 0$, $k\ge 2$, $\ell \ge 2$. 早期关于这方面的文献可在 Dickson 的历史中找到. 后来的文献可在 Oblath 的文章[Oblath]中找到.

Rigge[6], 及几个月后 Erdõs [1] 对于 $\ell =2$ 的情形给出了证明(参见问题671). 他们在[1]中证明对于固定的 $\ell$, (1) 至多只有有限多个解. 1940年, Erdõs 和 Siegel 合作证明了存在一个常数 $c$, 当 $k>c$ 时 (1) 无解, 但这个证明从未发表. 后来 Erdõs [2] 发现了一个不同的证法. 通过改进这个证法, Erdõs 和 Selfridge [0] 证明了这个古老的猜想. 即有如下结论.

定理 1. 两个或两个以上的连续正整数的乘积不可能是一个数的幂.

事实上, 他们证明了一个更强的结论:

定理 2. 设正整数 $k,\ell ,n$ 满足 $k\ge 3$, $\ell \ge 2$ 且 $n+k\ge p^{(k)}$, 其中 $p^{(k)}$ 指大于等于 $k$ 的最小的素数. 则存在素数 $p\ge k$, 使得

$${\alpha }_p\not\equiv 0(\text{mod}\ell )$$

其中 ${\alpha }_p$ 是 $p$ 的幂, 且能够整除 $(n+1)(n+2)\cdots (n+k)$.

定理 2 可推出定理 1.

Pf. $(n+1)(n+2)$ 显然不可能是某个数的幂(幂次大于1). 若 $n\le k$, 则由 Bertrand 假设, $n+1$, $n+k$ 之间至少有一个素数(注意 $n+k\ge 2n$). Then the largest prime factor of $(n+1)(n+2)\cdots (n+k)$ divides this product to exactly the first power. 

可以猜想定理 2 的一个加强版本:

若 $k\ge 4$, 且 $n+k\ge p^{(k)}$, 则至少存在一个大于 $k$ 的素数, which divides $(n+1)(n+2)\cdot (n+k)$ to the first power. 这个猜想如果成立的话, 则看起来是十分深刻的. 要求 $k\ge 4$, 其启发来自于下面的等式

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{3})={140}^2,\text{i.e.}(47+1)(47+2)(47+3)=6\cdot {140}^2$$

1. 基本引理

首先由著名的 Sylvester 和 Schur 【3】定理, 我们观察到, 总存在大于 $k$ 的一个素数 $p$, 可以整除 $(n+1)(n+2)\cdot (n+k)$, 这是因为 $n>k$, $2k<n+k<2n$. 这样的素数 $p$ 显然仅能整除这 $k$ 个因子中的一个. 因此如果 $(n+1)(n+2)\cdots (n+k)=x^l$, 则只要

$$\begin{array}{}\text{(2)}& n>k^{\ell }\end{array}$$

就有 $n+k\ge (k+1{)}^{\ell }$.

下面我们假设定理 2 不成立, 对每个 $1\le i\le k$, 有

$$\begin{array}{}\text{(3)}& n+i=a_i{x}_i^l\end{array}$$

其中 $a_i$ 不能表示为某个数的 $\ell$ 次幂, 且它的所有素因子都小于 $k$.

在 Erdõs [1] 关于 $\ell =2$ 情形的证明中, 证明了 $a_i\ne a_j$, 当 $i\ne j$ 时.

References:

[0] P. Erdõs and J. L. Selfridge, The product of consecutive integers is never a power. download

[1] P. Erdõs, Notes on the product of consecutive integers: I and II, J. London Math. Soc., vol. 14 (1939), pp. 194-198 and 245-249.

R. Oblath, Über Produkte aufeinanderfolgender Zahlen, Tohoku Math. J., vol. 38(1933), pp.73-92.