问题及解答

引理. 若 $\binom{n}{k}$ 可被某个素数 $p$ 的幂 $p^\alpha$ 整除, 则 $p^\alpha\leq n$.

若 $\alpha$ 是最大的, 则有 $p^\alpha\leq n<p^{\alpha+1}$.

由题设 $p^\alpha$ 能整除 $\binom{n}{k}$, 则 $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ 中素数 $p$ 的指数为

\[\sum_{r=1}^{+\infty}\biggl(\Bigl[\frac{n}{p^r}\Bigr]-\Bigl[\frac{k}{p^r}\Bigr]-\Bigl[\frac{n-k}{p^r}\Bigr]\biggr)\]

这里实际上仅是有限项和, 当 $p^r>n$ 时, $\Bigl[\frac{n}{p^r}\Bigr]=0$. 因此, 必有 $p^\alpha\leq n$.

可以参考 贾宪数 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是整数的证明. (这里 $0<k<n$)

References

闵嗣鹤、严士健编, 初等数论.