问题及解答

当 $x\geq 2$ 时,

\[0.2\frac{x}{\log x}\leqslant\pi(x)\leqslant 5\frac{x}{\log x}\]

这是闵嗣鹤、严士健编著的《初等数论》上的一个定理, 叫做切比雪夫不等式. 证明了 $\pi(x)$ 与 $\frac{x}{\log x}$ 是同阶的.

我们断言, 当 $n\geqslant 51$ 时, 有

\[\log 2\frac{x}{\log x}<\pi(x)+1\]

由 Wallis 公式 (问题702),

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac{1}{\sqrt{2n}}}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\]

因此, 任给 $\varepsilon>0$, 存在 $N>0$, 使得当 $n>N$ 时, 有

\[\biggl|\frac{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac{1}{\sqrt{2n}}}-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\biggr|<\varepsilon\]

即

\[\frac{1}{\sqrt{2n}}\biggl(\sqrt{\frac{2}{\pi}}-\varepsilon\biggr)<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{2n}}\biggl(\sqrt{\frac{2}{\pi}}+\varepsilon\biggr)\]

由于

\[a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot 4^n\]

因此

\[\frac{4^n}{\sqrt{2n}}\biggl(\sqrt{\frac{2}{\pi}}-\varepsilon\biggr)<a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}<\frac{4^n}{\sqrt{2n}}\biggl(\sqrt{\frac{2}{\pi}}+\varepsilon\biggr)\]

推出

\[\log\biggl(\sqrt{\frac{2}{\pi}}-\varepsilon\biggr)+2n\log 2-\frac{1}{2}\log(2n)<\log a_n<\log\biggl(\sqrt{\frac{2}{\pi}}+\varepsilon\biggr)+2n\log 2-\frac{1}{2}\log(2n)\]