(1) 令 $X=\mathbb{R}\times\{\pm 1\}$, 且具有乘积拓扑和 $C^\infty$ 结构. 从而是一个光滑流形. 在 $X$ 上定义关系
\[(x,i)\sim(y,j)\Leftrightarrow\ \text{或者}\ x=y < 0, \text{或者}\ x=y\ \text{且}\ i=j.\]
证明: $X/\sim$ 可以局部欧氏化, 且是第二可数的, 但不是 Hausdorff 空间.
另一个例子见问题752
1
$X/\sim$ 由三部分组成:
\[X/\sim=A_{+}\cup A_{-}\cup B,\]
其中
\[
\begin{aligned}
A_{+}&=\{(x,y)\mid x\geqslant 0, y=+1\}\\
A_{-}&=\{(x,y)\mid x\geqslant 0, y=-1\}\\
B&=\{(x,y)\mid x < 0, y=0\}\\
\end{aligned}
\]
且在 $A_{+}-\{(0,1)\}$, $A_{-}-\{(0,-1)\}$ 和 $B$ 上的拓扑是子空间拓扑, 即以开区间作为拓扑基. 而在 $(0,1)$, $(0,-1)$ 处, 拓扑基为
\[
N_{\varepsilon}^{\pm}=\{(x,\pm 1)\mid 0\leqslant x < \varepsilon\}\cup\{(x,0)\mid -\varepsilon < x < 0\}.
\]
因此, $X/\sim$ 仍是局部欧氏化的, 但由于 $(0,1)$, $(0,-1)$ 两点无法用开集分离开, 而不具备 Hausdorff 分离性, 故 $X/\sim$ 不是一个流形.
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. (P.10 Ex.1 and P.64 Ex 2.)