问题及解答

假设 $\gamma(t)$ 是一条平面曲线. $\ell_1$ 是该曲线在某一点 $t_0$ 处的切线. $\ell$ 与 $\ell_1$ 平行, 并相距 $h$. 假设 $\ell$ 与曲线 $\gamma$ 所围区域的面积有限, 记为 $S$. 请用曲线的曲率来表示 $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{S^2}{h^3}$.

不妨先考虑简单的曲线: $x^2+y^2=R^2$ ($R > 0$). $\ell_1:\ x=R$ 与圆相切于 $C=(R,0)$. $\ell:\ x=R-h$ ($0< h < R$).

$\ell$ 与圆相交于 $A,B$. 设 $OA$ 与 $x$ 轴夹角为 $\theta$. 则 $\ell$ 与圆所围区域的面积为:

\[
\begin{split}
S&=\frac{1}{2}R\cdot R2\theta-R\sin\theta\cdot R\cos\theta\\
&=R^2(\theta-\sin\theta\cos\theta)\\
&=R^2(\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta),
\end{split}
\]

\[h=R-R\cos\theta=R(1-\cos\theta)=2R\sin^2\frac{\theta}{2}.\]

于是

\[
\begin{split}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{S^2}{h^3}&=\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{R^4(\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta)^2}{8R^3\sin^6\frac{\theta}{2}}\\
&=\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{R}{8}\frac{(\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta)^2}{(\frac{\theta}{2})^6}\\
&=8R\,\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{(\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta)^2}{\theta^6}\\
&=8R\,\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{2(\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta)(1-\cos 2\theta)}{6\theta^5}\\
&=8R\,\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{(\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta)2\sin^2\theta}{3\theta^5}\\
&=\frac{16R}{3}\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta}{\theta^3}\\
&=\frac{16R}{3}\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos 2\theta}{3\theta^2}\\
&=\frac{16R}{3}\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{2\sin^2\theta}{3\theta^2}\\
&=\frac{32R}{9}.
\end{split}
\]

注意圆在 $C=(R,0)$ 处的曲率为 $\kappa=\frac{1}{R}$, 因此

\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{S^2}{h^3}=\frac{32}{9\kappa}.\]

由于正则曲线在任一点处的曲率等于该点处曲率圆的曲率. 故问题解决.

我们也可以对一般性的曲线来计算.

这时不妨通过等距变换将曲线 $\gamma(t)$ 在 $t_0$ 处的切线变成水平状态. 或者等价的, 以 $\ell_1$ 为 $x$ 轴, 取正方向, 切点为原点. 然后以曲线在该点处的内侧法向量为 $y$ 轴正向, 建立坐标系.

此时曲线仍记为 $\gamma(t)=(t,f(t))$, $f$ 是曲线在坐标系下对应的函数. $\ell$ 平行于 $x$ 轴, 与曲线相交于两点 $A,B$. 设 $A=(-\delta,h)$, $B=(\varepsilon,h)$, 这里 $h=f(-\delta)=f(\varepsilon)$. $h\rightarrow 0$ 时, $\varepsilon,\delta$ 都趋于零.

$\ell$ 与曲线所围区域被 $y$ 轴分为左右两部分, 面积分别记为 $S_1, S_2$. 我们不妨对 $S_2$ 进行计算.

\[S_2=\varepsilon f(\varepsilon)-\int_{0}^{\varepsilon}f(t)dt.\]

\[
\begin{split}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{S_2^2}{h^3}&=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{\Bigl(\varepsilon f(\varepsilon)-\int_{0}^{\varepsilon}f(t)dt\Bigr)^2}{f^3(\varepsilon)}\\
&=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{2\Bigl(\varepsilon f(\varepsilon)-\int_{0}^{\varepsilon}f(t)dt\Bigr)\Bigl(f(\varepsilon)+\varepsilon f\'(\varepsilon)-f(\varepsilon)\Bigr)}{3f^2(\varepsilon)f\'(\varepsilon)}
\end{split}
\]